212 24. Trigonometrische Reihen
hinreichender Genauigkeit in Tafelwerken zusammengestellt sind, so be
deutet das für die praktische Durchführung keine wesentliche Erschwerung.
Andererseits zeigt es sich, daß bei Zulassung der trigonometrischen Funk
tionen eine ganz unverhältnismäßig viel größere Schmiegsamkeit der Reihen
entsteht, so daß ein wesentlich umfangreicherer Kreis von Funktionen
durch solche Reihen erfaßt werden kann. Da cos x und sin x an und für
sich nur zu zwei Reihengliedern Anlaß geben, nehmen wir allgemeiner
die Funktionen cos nx und sinwa;, wo n eine beliebige natürliche Zahl
oder 0 bedeutet. Ist n — 0, so ist auch sinwa; = 0, aber cos nx = 1. In
dem wir diese sämtlichen Funktionen mit beliebigen Konstanten behaften,
kommen wir zur Bildung einer trigonometrischen Reihe:
(90) ° 2 ° + a x • cos x -f- • sin# + a 2 cos 2x b 2 • sin 2x -f- • • •
= -f- (a n • cos nx + h n • sinwaf).
il — 1
(Daß wir hier das von x freie Glied nicht mehr mit a 0 , sondern mit a °
bezeichnet haben, hat seinen Grund lediglich darin, daß dann ein später
aufzustellendes Formelsystem etwas übersichtlicher wird.)
Wir wollen annehmen, daß die Reihe (90) für alle Werte von x kon
vergiert. Dann stellt ihr Wert eine für sämtliche x definierte Funktion fix)
dar:
oo
(91) f{x) — y + ^ (a n • cos nx + h n • sin nx).
n = 1
Diese Funktion muß aber eine besondere Eigenschaft besitzen. Da die
Funktionen sin na: und cos na: (n — 1, 2, 3, . . .) sämtlich die Periode 2it
haben, so gilt dies auch für die Summe der Reihe (90). Sie nimmt also
an zwei a?-Stellen, die sich um die Größe 2tc voneinander unterscheiden,
die gleichen Werte an:
fipc -r 27t) = fix).
Es können daher stets nur periodische Funktionen mit der Periode 2n
durch trigonometrische Reihen dargestellt werden. Daß diese Periode ge
rade gleich 27t ist, ist allerdings dabei nebensächlich. Denn ist gix) eine
periodische Funktion mit der Periode p:
gix+p) = gix),
so wird sie durch Einführung der neuen Veränderlichen x = ~~ • | in
eine Funktion von £ verwandelt:
die nunmehr die Periode 2 7t hat. Wir können uns daher tatsächlich auf
die Periode 2 7t beschränken. Ferner genügt es nach dem Gesagten, die
Reihe (90) in einem Intervall von der Länge 2 7t zu betrachten, etwa im