Gliedweise Integration und Differentiation 
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Intervall 0 sS x ^ 2tc. Überdies könnten wir noch den einen Endpunkt 
dieses Intervalls aus schließen, da infolge der Periodizität dort genau das 
selbe Verhalten wie am anderen Endpunkt vorliegen muß. 
2. Wir schalten eine Zwischenbemerkung ein. Wenn eine unendliche 
Reihe vorliegt, deren sämtliche Glieder in einem abgeschlossenen Intervall 
von a bis b definierte und stetige Funktionen f n (x) (n — 1, 2, 3, . ..) sind, 
und wenn diese Reihe für sämtliche Werte von x aus dem genannten 
Intervall konvergiert, so stellt ihr Wert eine ebenfalls in dem Intervall 
definierte Funktion f(x) dar: 
oo 
(92) 
Da eine Summe von endlich vielen stetigen Funktionen wieder eine 
stetige Funktion ist, so könnte man glauben, daß dies auch für eine kon 
vergente Summe von unendlich vielen stetigen Funktionen gilt, daß 
die Reihensumme f(x) in (92) also wieder eine stetige Funktion ist. Man 
kann jedoch an Beispielen zeigen, daß eine solche Behauptung nicht zu 
Recht besteht. Es gibt tatsächlich in einem Intervall überall konvergente 
Reihen von stetigen Funktionen, die trotzdem keine stetige Funktion 
liefern. Dies ist ein kennzeichnendes Beispiel dafür, daß man Regeln, deren 
Gültigkeit im Endlichen geläufig ist, nicht ohne Prüfung auf das Un 
endliche übertragen darf. Wir wollen daher weiterhin jetzt voraus 
setzen, daß in der Beziehung (92) f{cc) eine stetige Funktion ist. 
Wir integrieren die Gleichung (92) auf beiden Seiten zwischen den 
Grenzen a und b: 
Nun gilt für endliche Summen auch der von uns früher hergeleitete 
Satz, daß man Summation und Integration vertauschen darf. Auch dieser 
Satz ist keineswegs ohne weiteres bei unendlichen Summen, d. h. bei 
unendlichen Reihen richtig. Nur unter der Annahme, daß er gilt, können 
wir also schreiben: 
ff(c)-dc = 2 jf n (c) • de 
n = 1 La 
a 
Man spricht dann von einer gliedweisen Integration der unendlichen Reihe. 
Das gleiche gilt von der Differentiation in (92) unter der Voraussetzung, 
daß die sämtlichen, dort vorkommenden Funktionen überhaupt Ableitungen 
besitzen: 
Bei endlichen Summen können wir Summation und Differentiation ver 
tauschen. Bei unendlichen Reihen ist dies ohne besondere Prüfung un-