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24. Trigonometrische Reihen 
zulässig. Nur unter der Annahme der Gültigkeit können wir deshalb 
schreiben: 
oder 
Man spricht dann von gliedweiser Differentiation einer unendlichen Reihe. 
Ist (92) insbesondere eine Potenzreihe 
oo 
die in irgendeinem abgeschlossenen Intervall von a bis b konvergiert, so läßt 
sich zeigen, daß f(x) stets eine stetige und im Inneren des Intervalls sogar 
beliebig oft differenzierbare Funktion sein muß, und weiter, daß daselbst 
beliebig oftmalige gliedweise Differentiation gestattet ist. Dies kann man 
benutzen, um die Koeffizienten der Potenzreihe durch Differentiations 
formeln mit Hilfe der dargestellten Funktion f(x) zu bestimmen. Nimmt 
man nämlich zur Vereinfachung an, daß die Stelle x = 0 zu dem Inneren 
des genannten Intervalls gehört, und setzt man dann x = 0, so wird 
«o=m. 
Differenziert man einmal gliedweise und setzt x = 0, so kommt 
Differenziert man nochmals gliedweise und setzt wieder x = 0, so ent 
steht 
So kann man fortfahren und erhält allgemein 
Es sei ferner die Reihe (92), insbesondere die trigonometrische Reihe (91) 
und das Intervall von a bis b gerade das Intervall von 0 bis 2jt. Wir 
wollen weiter voraus setzen, daß die Summe f(oc) eine stetige Funktion 
ist. Nun kann man sich fragen, ob die Koeffizienten a n und b n nicht 
ebenfalls mit Hilfe der Funktion f(x) bestimmt werden können. Es zeigt 
sich, daß dies möglich ist, daß man an Stelle der Differentiationen aber 
besser Integrationen verwendet. Wir multiplizieren die Reihe (91) auf 
beiden Seiten mit cos mx oder sinm# (m beliebige natürliche Zahl) und 
integrieren dann zwischen den Grenzen 0 und 2jt. Wenn wir annehmen, 
daß gliedweise Integration gestattet ist, so folgt