Fouriersche Formeln 
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«0 j 
2 9/ 
cos mc • 
de 
0 
2 7t 
r* 
CL n • 
f cos nc 
• cos mc 
oder 
2 71 
f f(c) • sin mc • dc=YJsin mc ' ^ c 
ö o 
oo/2 Tt 2 7t 
+ 2 a„ • f cos nc • sin mc • de b n • (sin nc • sin mc • (¿c 
« = 1 \ 0 
Nach Übung 4, S. 114, fallen hier auf den rechten Seiten für n = 1,2, 3,... 
sämtliche Glieder fort bis auf dasjenige, für welches n = m ist und im 
Integranden gleiche trigonometrische Funktionen Vorkommen. Das in dem 
stehenbleibenden Glied enthaltene Integral besitzt nach der genannten 
‘¿71 2 71 
Übung den Wert %. 
Da außerdem f cos mc • de = / sin mc ■ de — 0 ist, 
6 o 
wird 
2 7t 
a m — *: • i f(c) • cos mc • de, 
(93) 
o 
(m = 1,2,...). 
¿Tt 
b m = ~ ^jf(c) • sin mc • de 
0 
Integrieren wir die Reihe (91) ohne vorhergehende Multiplikation un 
mittelbar zwischen den Grenzen 0 und 2iz, so fallen sämtliche Glieder 
der rechten Seite bis auf das erste weg, während dieser erste Summand 
den Wert • 2« = n • a 0 erwirbt. Deshalb gilt noch 
2 Tt 
0 
d. h. die erste Formel (93) gilt auch noch für m = 0. (Aus diesem Grunde 
hatten wir oben ~ statt a Q geschrieben.) Die Formeln (93) sind dann 
Integralformeln für die sämtlichen Koeffizienten der trigonometrischen 
Reihe. Man nennt sie die Fourierschen Formeln. 
3. Von Wichtigkeit ist nun folgende Fragestellung. Es sei eine beliebige 
stetige Funktion mit der Periode 2n vorgegeben. Läßt sich diese stets 
oder möglicherweise unter gewissen weitergehenden Voraussetzungen in