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24. Trigonometrische Reihen 
eine trigonometrische Reihe von der Form (90) entwickeln? Wir werden 
beweisen, daß das tatsächlich der Fall ist, wenn die Funktion überall 
(mindestens) zweimal differenziert werden kann, und ihre zweite Ableitung 
überall stetig ist. Dabei wird es nach den Ergebnissen von Nummer 2 
nahe liegen, überhaupt von vorne herein nur diejenige trigonometrische 
Reihe zu betrachten, deren Koeffizienten durch die mit Hilfe der ge 
gebenen Funktion f{x) gebildeten Fourierformeln (93) geliefert werden. 
Denn, wenn diese Funktion f(x) in eine überall konvergente trigono 
metrische Reihe entwickelt ist, und wenn diese Entwicklung so beschaffen 
sein sollte, daß sie gliedweise Integration gestattet (wir werden nachher 
sehen, daß das tatsächlich der Fall ist), so kommen diese Koeffizienten ja 
zwangsläufig heraus. Man nennt die mit einer gegebenen Funktion f(x) 
nach den Fourierformeln (93) gebildeten Koeffizienten a n und b n die zu 
der Funktion fix) gehörigen Fourierlioeffizienten und die wiederum mit 
diesen Koeffizienten gebildete trigonometrische Reihe die zu der Funktion 
gehörige Fouriersche Reihe. 
Es ist also zweierlei zu zeigen: 
a) Die Fouriersche Reihe, die zu einer überall stetigen und (mindestens) 
zweimal differenzierbaren Funktion f(x) mit der Periode 2n gehört, deren 
zweite Ableitung überall stetig ist, konvergiert für alle x. 
b) Die Summe dieser Reihe fällt mit der gegebenen Funktion fix) zu 
sammen. 
4. Um das unter a) Gesagte zu beweisen, stellen wir folgenden Hilfs 
satz auf: Ist Ji{x) eine im abgeschlossenen Intervall von 0 bis 2n stetige 
Funktion, so ist die Folge ihrer Fourierkoeffizienten beschränkt. 
Zur Feststellung der Richtigkeit dieses Satzes bezeichnen wir die mit 
der Funktion h(x) nach den Formeln (93) gebildeten Fourierkoeffizienten 
mit A m und B m . Ferner nennen wir die Teilsumme der zugehörigen 
Fourierschen Reihe, die entsteht, wenn wir diese nach dem Gliede 
An • cos Nx + Rn • sin Nx abbrechen (N ^ 1), Sn{%): 
Dann bilden wir den Ausdruck 
(95) 
0 
2 71 
2 7t 
- j\h(c)) 2 - de — 2 • (h(c) • sn{c) • de +JisN(c)) 2 * de. 
o 
0 
0 
Hierin setzen wir im zweiten und dritten Integral der rechten Seite für 
Sn i^) den aus (94) entnommenen Ausdruck ein. Dann wird