28 6- Rechnen mit Zahlenfolgen 
£ ' 
punkt Z't, und der halben Länge z— = ¿' übergeht, so liegen in dieser 
z 
letzteren also wirklich unendlich viele Zahlen der neuen Folge und außer 
halb von ihr nur endlich viele. — Ist z nicht eine positive, sondern eine 
negative Zahl, so gilt das eben bewiesene Ergebnis auch noch. Denn dann 
konvergiert wie eben gezeigt die Folge \z\ • z l7 \z\• z 2 ,.. ., \z\ ■ z n , ... gegen 
[ z\ • £, und aus der am Anfang von Nummer 8 gemachten Bemerkung ergibt 
sich, daß dann auch die Folge — \z\'Z Xi —\z\'Z 2} ...,— \z\• z n , ..., oder 
was dasselbe ist, die Folge z-z ly z• z 2 , . . ., z-z n , . . . gegen — \z\ •£, d. h. 
gegen z • £ konvergiert. 
10. Wir bilden nun weiter die Folge z\, z§,.. ., z\, . . . und behaupten, 
daß auch diese beschränkt und konvergent mit dem Grenzwert £ 2 ist. Da 
die ursprüngliche Folge beschränkt war, so gibt es ein Intervall, das sie 
ganz enthält. Wir können unbeschadet der Allgemeinheit unserer Betrach 
tung annehmen, daß dieses Intervall spiegelbildlich zum Nullpunkt liegt, 
denn wenn dies nicht der Fall wäre, könnten wir das Intervall durch Ver 
schieben seines näher am Nullpunkt gelegenen Endpunktes so weit ver- 
0 
Fig. 21. 
großem, bis dieser Endpunkt in bezug auf den Nullpunkt spiegelbildlich 
zum anderen liegt (Fig. 21). Die Endpunkte eines solchen Intervalles 
mögen vom Nullpunkt die Abstände d haben; dann ist der Abstand jedes 
z n und auch des Grenzpunktes £ vom Nullpunkt höchstens d, und deshalb 
ist der Abstand einer beliebigen Zahl z n + £ vom Nullpunkt höchstens 
gleich 2 d, d. h. es ist | z n + £ | sS 2d (s. Nummer 8 des zweiten Abschnitts, 
S. 11). (Bemerkung A). 
Wir nehmen nun eine ¿-Strecke mit dem Mittelpunkt £. Dann liegen 
in derselben unendlich viele Zahlen z n und außerhalb von ihr nur endlich 
viele. Wir wollen sehen, wie weit die Quadrate der unendlich vielen inner 
halb der ¿-Strecke gelegenen z n von £ 2 abstehen. Nun sind diese Abstände 
gleich | £ 2 — z\\. 
| P-4| = 1(6-*.M6+ *«)l- 
Es ist aber | £ — z n \ ^ ¿ und nach der Bemerkung A £ + z n \ ^ 2d. 
Mithin sind die gesuchten Abstände höchstens gleich 2-d-s. Das bedeutet: 
Wenn wir eine Strecke von der halben Länge 2-d-s um £ 2 als Mittel 
punkt konstruieren, so liegen in derselben jene unendlich vielen z\. Außer 
halb derselben können aber höchstens endlich viele z\ liegen, nämlich 
allenfalls diejenigen, welche zu z n gehören, die außerhalb der ursprüng 
lich genannten ¿-Strecke liegen. Da ¿ beliebig klein sein konnte, kann 
auch 2 • ¿ • d beliebig klein angenommen werden; genauer könnte man hier 
ähnlich schließen wie am Schluß des Beweises über die Konvergenz der 
Folge Z'Z n . Damit ist der Beweis geführt.