iränkte konvergente 
., daß es keine Null- 
I wobei 
uten soll, die nicht 
. Solche von 0 ver- 
sonst £ entgegen der 
^e — nennen wir die 
’ Zn 
nd konvergent, und 
nen von 0 verschie- 
Wenn wir nun mit 
albe Länge e gerade 
idlich viele z n und 
Lr nur endlich viele. 
3 endlich vielen z n 
rsprünglichen Folge 
eine Teilfolge mit 
in sämtliche Glieder 
vir zu diesen z n die 
i der Folge (F) vor, 
»eweis für diese Teil 
ecke mit £ als Mittel- 
ndlich viele unserer 
r endlich viele. Bei 
prüfen wir, wie weit 
. Da | z n — £ | iS s ist, 
mn man den Nenner, 
«I ^ l «nd £ | - 
die sämtlichen be 
ilpunkt, deren halbe 
len daher höchstens 
s beliebig klein ge 
stehen, damit wir — 
lieh ist. Wenn diese 
Quotient von Folgen 
31 
Voraussetzung nicht erfüllt ist, ist der bewiesene Satz auch tatsächlich 
falsch. Das zeigt bereits die Folge 1, ~hier ist die zu 
gehörige Folge der Reziproken 1, 2, 3, . .. ., n, .. ., also gar nicht mehr 
beschränkt und auch ohne Häufungspunkt. 
13. Sind ferner wieder x 1} x 2 , . . ., x n , . . . und y 1 , y 2 , . . ., y n , . . . zwei 
beschränkte konvergente Folgen mit den bezieh entliehen Grenzwerten £ 
und y, und ist die zweite Folge keine Nullfolge, so ist auch die Folge Xn , 
Un 
bei deren Bildung nur die von Null verschiedenen y n zu berücksichtigen 
sind, beschränkt und konvergent mit dem Grenzwert ^ . Dies ergibt sich 
aus dem eben Abgeleiteten in Verbindung mit dem Endergebnis von 
Nummer 11, denn es folgt 
lim — = lim x n • — 
n = oc2/w n = oo Vn 
— lim x n • lim 1 
n — oo n — 00 V n 
i ' 
1 
V 
A. 
V 
Wir zeigten also: Wenn man aus zwei beschränkten konvergenten Fol 
gen mit den Grenzwerten £ und rj, von denen die zweite keine Nullfolge 
ist, dadurch eine neue Folge bildet, daß man entsprechende Glieder der 
gegebenen Folgen dividiert, wobei man nur die von Null verschiedenen y n 
als Divisoren berücksichtigt, so ist auch die neue Folge beschränkt und 
konvergent, und zwar mit dem Grenzwert - . Dafür pflegt man häufig 
wesentlich kürzer, aber auch wesentlich weniger streng zu sagen: Der 
Grenzwert des Quotienten (von zwei Folgen) ist (vorhanden und) gleich 
dem Quotienten der Grenzwerte (der einzelnen Folgen), wenn die Nenner 
folge keine Nullfolge ist, oder in Form einer in Zeichen geschriebenen 
Gleichung: 
lim x n 
lim ^ 
n-eoSfe llm Vn 
lim y„4=0\ 
n — 00 
Auch von dieser Tatsache, genauer von ihrem in Nummer 12 behandelten 
Sonderfall, machten wir bereits am Ende des ersten Abschnitts, S. 4, Ge 
brauch, indem wir dort aus lim cos — = 1 =(= 0 schlossen, daß lim 1 — 1 
n = 00 n = 00 cog 
n 
ist. Ebenso benutzten wir das jetzt Bewiesene mehrfach wesentlich im 
vierten Abschnitt [s. insbesondere Formel (8), S. 17]. 
14. Wenn zwei Folgen x 2 , x 2 , . . x n , . . . und y 1} y 2 , .. ., y n} . . . be 
schränkt und konvergent sind und beide den gleichen Grenzwert £ be-