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6. Nochmals Flächeninhalte 
Ist OF—bx, so sind die Ordinaten der Teilpunkte von OF: 
Infolge der Gleichung y — arc sin x oder x = sin y der Hilfskurve haben 
dann die Zwischenpunkte auf OA die Abszissen: 
Zeichnen wir nun die zu diesen Zwischenpunkten und unserer Kurve 
y = gehörige, der in Rede stehenden Fläche einbeschriebene 
y l — x 2 
Rechteckfigur, so ist deren Inhalt J n : 
Nun zeigt sich der Grund für die Wahl der Einteilung von OA: Durch 
das Auftreten der Sinuswerte an der Stelle von x lassen sich die in dieser 
Summe vorkommenden Wurzeln, die an und für sich eine geschlossene 
Summation verhindern würden, durch trigonometrische Funktionswerte 
ausdrücken und dadurch fortschaffen. Es ist nämlich allgemein 
1 
l 
COS V • 
n 
worin v eine der Zahlen 1, 2,..., (n — 1) bedeutet. Berücksichtigen wir 
ferner, daß für dieselben v 
fei , 
• cos — + 
n 
b 
sin (y -f 1) • 
U 1 
— = sin V • 
cos V • — • sin — 
n n 
n 
n 
und daher 
sin (v + 1) • — — sin v ’ 
v ' n 
ist, so ergibt sich 
fei / fei 1 \ . fei 
— • cos — 1 + COS V • — 
n \ n J n 
b. 
fei • fei 
— sin v • — = sin v • — 
• sin 
n 
n 
b. 
1 — cos 
n 
Hierin können wir aber sofort den Grenzübergang vornehmen. Denn 
einmal wächst der Tangens eines positiven spitz'en Winkels mit wachsen 
dem Winkel. Deshalb sind die Werte 
alle kleiner als