anderen Fällen 
;ugrunde. Auch 
ler «-Achse, da 
enzen wachsen- 
f beliebig klein, 
ihmiegt sich da- 
iits der «-Achse 
). Wieder be- 
den Inhalt der 
on dieser Kurve, 
s und den Ordi- 
= 0 und « = a 
wird. Als Hilfs- 
mg einer zweck- 
ng der Strecke 
r jetzt die Kurve 
i ist y = arc tg« 
ie durch Auflö- 
g « = tg y ent- 
i y denjenigen 
r angens gerade 
3ng genommen 
mdlich viele sol- 
urve y — arc tg « 
wenn wir die 
Fig. 29) an der 
ierenden spie 
ße besteht also 
arve aus unend- 
nnten Zweigen, 
.ter ihnen, etwa 
ullpunkt gehen- 
lelver Schiebung 
)-Achse um die 
jt, — 2 jt, ... 
oben genannte 
ien jener durch 
gehende Zweig 
. Diesen bringen 
der Ordinate in 
litt im Punkte 
ren wir wie in 
l 
1 -f- x 2 
39 
Nummer 3 (Fig. 31) und erhalten auf diese Weise auf 0A Teilpunkte, 
welche die Abszissen 
besitzen. Diesmal betrachten wir die zu diesen Punkten gehörige und der 
ergibt. Nun ist — und hierin zeigt sich wieder die zweckmäßige Wahl der 
Teilpunkte — für v — 1, 2, ..., (n — 1): 
% + 1) * ^ 
tg v • — + tg — 
n n 
> 
1 — tg v • - 1 - • tg — 
n n 
und daher tg (y + 1) ■ — tg v • ^ = 
g^- i 1 + tg 2 ^ 
n \ io 
\ L t; 
1 — tg V • — • tg — 
n n 
so daß der allgemeine Summand der obigen Summe die einfache Gestalt 
h 
tg 
annimmt. Also folgt 
(12) J n = tg -- • ( 1 + 
tg v • bl • tg h - 
n n 
i — tg^l.tg - 1 - 
B n n 
+ ••• + 
Wieder ist tg größer als 
., tg (n 1) 
tg (n — l) • 
ersetzen wir mithin in sämtlichen Nennern von J n , die stets positiv sein 
müssen, diese Größen durch tg b 1} so verkleinern wir jene Nenner. Sie 
lauten dann alle 1 — tg b ± • tg und da lim tg ^ = 0 ist, wird jener 
n n = oo n 
Ausdruck von einem gewissen n an immer noch positiv sein. Die vorher-