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Obere und untere Grenze 
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trachtung durch einen Beweis ergänzen, der in der Methode dem in Num 
mer 5 gegebenen ähnlich ist, und wie dort einfach darin besteht, die obere 
Grenze y als Dezimalbruch unmittelbar zu konstruieren und hierdurch an 
zugeben. Zu diesem Zweck betrachten wir wie damals die von zwei auf 
einanderfolgenden ganzen Zahlen oder der Null begrenzten Strecken, 
durchlaufen sie von links nach rechts und suchen die letzte aus, die noch 
Punkte von M enthält. Sie sei t 0 . Eine solche muß es geben, da rechts 
von 6 überhaupt keine Punkte von M mehr liegen. t 0 werde in 10 gleiche 
Teile geteilt, die Teile werden von links nach rechts mit den Ziffern 0 
bis 9 numeriert, und derjenige Teil mit der Nummer 0. ausgesucht, der 
hei diesem Durchlaufen von links nach rechts zum letzten Male Punkte 
von M enthält. t x wird wieder in 10 kleinere Teile mit den Nummern 0 
bis 9 zerlegt, und der letzte dieser, t 2 , ermittelt, in den noch eben Punkte 
von M fallen. So kann man wieder unbegrenzt fortfahren und erhält — 
zunächst unter der Voraussetzung, daß der linke Endpunkt von t 0 keine 
negative Zahl ist, und daß dann die Zahl dieses linken Endpunktes als 
Nummer gegeben wird — als Darstellung des innersten Punktes sämt 
licher derart erhaltenen Intervalle wie in Nummer 5 einen Dezimalbruch 
t 0 , t x t 2 . . ., der die gesuchte obere Grenze y liefert. 
Daß das so konstruierte y tatsächlich die Eigenschaften der fraglichen 
oberen Grenze hat, sieht man so: 
a) Läge zunächst rechts von y noch ein Punkt z von M (Fig. 34), so 
könnten wir die Nummer n so groß wählen, daß die Strecke t n kleiner als 
die Entfernung yz würde (die t n streben ^ 
mit wachsendem n gegen Null!). Da in —-—i o- 
diesem t n der Punkt y liegen muß, müßte 
sich rechts von dem genannten t n 
noch ein Punkt z von M vorfinden; das aber widerspräche der oben an 
gegebenen Konstruktions Vorschrift der t { (i — 0, 1, 2, . . .). 
b) Ist y nun selbst ein Punkt von M, so sind wir fertig. 
c) Ist dies aber nicht der Fall, so müssen in der linken Hälfte jeder 
noch so kleinen zu y gehörigen s-Strecke noch Punkte von M liegen; 
denn in die e-Strecke kriechen die Strecken f 0 , t x , t 2 , . . . von einer ge 
wissen Nummer n an wieder hinein, und da jedes t { nach Konstruktion 
Punkte von M enthält, finden sich solche — dann notwendig von y ver 
schiedene, wenn y nicht seihst zu M gehört — auch in der s-Strecke, und 
zwar zwangsläufig links von y, da rechts von y überhaupt keine Punkte 
von M liegen können, wie vorhin bereits gezeigt wurde. Dann ist also y 
Häufungspunkt von Punkten von M von links her. 
Ist der linke Endpunkt von t 0 eine negative Zahl, so ist zuerst wieder 
wie in Nummer 5 eine Verschiebung nach rechts vorzunehmen, die am 
Schluß rückgängig gemacht wird. 
Genau so beweist man, daß bei nach links beschränkten Mengen, bei 
Mengen also, die eine untere Schranke besitzen, eine linke oder untere 
Grenze y existiert, welche die entsprechenden Eigenschaften wie y besitzt. 
Fig. 34.