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7. Zahlenmengen 
Ist die Menge sowohl nach rechts als nach links, also schlechthin be 
schränkt, so gibt y y offenbar die kleinste Strecke, in welcher die Menge 
noch ganz enthalten ist. 
9. Eine Folge z x , z 2 , ..z n , ... von lauter verschiedenen Punkten, hei 
der jeder Punkt rechts von dem vorhergehenden liegt, heißt eine monoton 
zunehmende Folge. Eine solche ist stets nach links beschränkt. Die untere 
Grenze y ist gleich z x . Ist sie nun auch nach rechts beschränkt, so be 
haupten wir, daß sie konvergieren muß. Denn bestimmen wir ihre obere 
Grenze y, so kann diese mit keinem z n zusammenfallen, da ja sonst die 
nächsten Z: z n +i, z n + 2 , ... alle rechts von y lägen. Demnach ist y Häu 
fungspunkt (von links her) von Punkten der Folge. Es ist aber auch deren 
einziger Häufungspunkt. Rechts von y findet sich nämlich selbstverständ 
lich überhaupt keiner mehr. Aber auch links von y gibt es keinen; denn 
wäre h ein solcher, so könnten wir ein zwischen h und y befindliches z n 
bestimmen, und links von diesem z n liegen nur endlich viele z, nämlich 
z x bis z n - X - Also kann h kein Häufungspunkt sein. Die Folge konvergiert 
mithin gegen ihre obere Grenze. 
Ebenso beweist man, daß eine monoton abnehmende Folge — d. h. eine 
Folge, bei der jeder Punkt links vom vorhergehenden liegt —, die nach 
links beschränkt ist, konvergiert, und zwar gegen ihre untere Grenze. JBe- 
schränkte monotone Folgen konvergieren demnach immer. 
Man kann den Begriff der monoton zunehmenden Folge noch dahin er 
weitern, daß man nicht verlangt, jedes z n liege wirklich rechts von dem 
vorhergehenden z n _ x , sondern zuläßt, daß es möglicherweise auch mit die 
sem zusammenfällt, jedoch nach wie vor sich keinesfalls links von ihm 
befindet. Setzen wir wieder voraus, daß eine solche Folge nach rechts be 
schränkt ist, so können jetzt bezüglich der oberen Grenze y zwei Fälle 
eintreten. Entweder fällt y mit einem z n zusammen. Dann müssen alle 
folgenden z: z n+x , z n + 2 , ••• ebenfalls auf y fallen, und y ist Häufungs 
punkt in erweitertem Sinne. Oder es fällt y mit keinem z n zusammen. 
Dann ist y Häufungspunkt (von links her) von Punkten der Folge. Daß 
links von y kein weiterer Häufungspunkt liegen kann, folgt wie oben. Ins 
besondere kann also jedes links von y befindliche z n nur endlich oft über 
deckt sein. Jedenfalls gilt der vorher ausgesprochene Satz demnach auch 
für solche nach rechts beschränkten monoton zunehmenden Folgen in er- 
iveitertem Sinne, und das gleiche gilt für die nach links beschränkten 
entsprechend erklärten monoton abnehmenden Folgen in erweitertem Sinne. 
10. Man sagt von einer Folge z x , z 2 , ..., z n , ..., sie wachse über alle 
Grenzen, wenn unterhalb jeder noch so großen Zahl G nur endlich viele 
Punkte der Folge liegen. Streicht man diese Glieder aus der Folge weg, 
so ergibt sich, entsprechend wie auf S. 9, daß es hei einer über alle Grenzen 
wachsenden Folge z n zu jedem noch so großen (positiven) G eine Nummer 
N gehen muß, so daß für alle w > N: