Monotone Folgen, Übungen 49 
ist. Das einfachste Beispiel einer über alle Grenzen wachsenden Folge bietet 
die natürliche Zahlenreihe 1 , 2, ..., w, ... Wir behaupten nun, daß bei einer 
monoton zunehmenden Folge z 1} z 2 , ..z n , ... (ob in erweitertem Sinne 
oder nicht, ist einerlei) nur zwei Fälle eintreten können: 
Entweder sie ist nach rechts beschränkt, — oder sie wächst über alle 
Grenzen. 
Ist sie nämlich nicht nach rechts beschränkt, so gibt es zunächst be 
liebig weit rechts Punkte z n . Da aber wegen der Monotonie links von z. n 
stets nur endlich viele Punkte der Folge liegen können, nämlich höch 
stens z 1} z 2 ,..., z n _ i, so ist die oben genannte Bedingung erfüllt und 
dadurch der Beweis geführt. 
Entsprechend zeigt man, daß eine monoton abnehmende Folge entweder 
nach links beschränkt ist oder unter jede Grenze sinkt, wenn man diesen 
letzteren Begriff in ähnlicher Weise wie oben erklärt. 
Übungen. 
1. Warum sind beim Beweise der NichtabZählbarkeit aller Zahlen zwischen 0 
und 1 in Nummer 2 anläßlich der Konstruktion des neuen Dezimalbruchs x die 
Ziffern 0 und 9 nicht zugelassen worden? 
2. Man überlege sich Beispiele zu den Ausführungen der Nummer 3. 
8. Warum beruht die Notwendigkeit des auf S. 11 ausgesprochenen Kennzeichens 
für die Konvergenz einer Folge auf der Tatsache, daß jede unendliche beschränkte 
Menge mindestens einen Häufungspunkt besitzt? 
4. Warum muß beim Beweise der Sätze aus den Nummern 5 und 8 der Fall, daß 
die dort vorkommende Größe t 0 eine negative ganze Zahl ist, besonders betrachtet 
werden ? 
5. Wächst eine nicht beschränkte Folge stets über alle Grenzen? Wächst sie stets 
über alle Grenzen, wenn sie wenigstens nach links beschränkt ist? 
Achter Abschnitt. 
Wiederum Flächeninhalte. 
1. Wir behandeln jetzt die Inhaltsbestimmung bei der gleichseitigen 
Hyperbel y = * . Diese fehlte uns im vierten Abschnitt noch (vgl. den 
Schloß jenes Abschnitts, S. 23). Wir betrachten die Fläche, die von der 
Kurve, der x-Achse und den Ordinaten in den Punkten x = 1 und x = a 
(it > 1) begrenzt wird (Fig. 35). Die Abstände der einzuschiebenden Or 
dinaten von der y-Achse sollen wieder eine geometrische Reihe, beginnend 
mit dem Abstande a, bilden: 
a, a • q, a • q 2 , . . ., a • q n , . . . (o<?<i). 
Diese Ordinaten häufen sich gegen die y-Achse. Im allgemeinen wird unter 
ihnen nicht gerade eine sein, die mit C D zusammenfällt. Wir nehmen die 
Reinhardt, Höh. Mathematik 4