Grundlagen einer Isogonalzentrik. 
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Seitenquadrate der Fußpunktsdreiecke wächst, so wird dieselbe am 
kleinsten sein für einen Radius — 0; also wird das Fußpunktsdrei 
eck von Q die möglichst kleinste Summe der Seitenquadrate haben. 
38. Der Schwerpol eines Dreiecks hat die Eigenschaft, daß 
die Summe der Entfernungsquadrate von den Seiten ein Minimum ist. 
Ist nemlich F ein beliebiger anderer Punkt, so konstruiere dessen 
Fußpunktsdreieck und in diesem den Schwerpunkt S l . Dann ist nach 
37) X x Y 2 + X x Z*+ r^ 2 >ir 2 -f XZ 2 + YZ 2 . Es ist aber in 
jedem Dreieck die Summe der Quadrate der Transversalen gleich 
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der Summe der Seitenquadrate; also diese erstere auch für 
Q 
ein Minimum; folglich auch, da $ Schwerpunkt, QX 2 H- QY 2 -f- 
QZ 2 <1 Xfi 2 + Yfl 2 Z X S 2 \ und da S l Schwerpunkt, so ist 
für jeden andern Punkt F: 
Xßi 2 -^- Y x S 2 -\-Z x S x <ZFX 2 -\- FY 2 -\~FZ/, also umso mehr: 
QX*+ QY‘+ QZ*< FX’ + FY* 4- FZ*- 
39. Da die Grundlinie FC durch die Schwerpols-Ecktrans- 
versale AG im Verhältnis sin 2 [i : sin*( geteilt wird, so ist für 
einen beliebigen Punkt F: 
FF 2 . sin$ -h CP 2 , sin 2 y = 
. ? . 9 . y -w-vO Sl/Yl Ö • SWl V ~r\ 
( S m ß +»- T ). (rP 
also der Ausdruck links konstant mit GF. 
Aber FP . sin ß = bj- und CP. siny = 
Cf] also ist für Kreise um G als Mittel 
punkt die Summe der Quadrate der 2. und 
3. Seite des Fußpunktsdreiecks konstant. 
40. Ganz ähnliche Betrachtungen ergeben, 
daß für Kreise um den 1. Kardinalpunkt D 
die Differenz der Quadrate der 2. und 3. 
Fußpunktsdreiecksseite konstant bleibt. 
41. Hilfssatz. Konstruiert man aus 
den Transversalen eines Dreiecks ein andres 
oder ein diesem ähnliches, so sinddessenWinkel 
gleich den Transversalenwinkeln des 1. Drei 
ecks und umgekehrt.