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Grundlagen einer Isogonalzentrik. 
Addiert man hiezu dreimal das Quadrat des Radius, so er 
hält man: 
AU 2 + BU 2 + CU 2 = | r 2 -f i (a 2 + b 2 -f c 2 ). 
166. Man soll den Abstand des Schwerpols von U bestimmen. 
Es ist 
2Aü*J^rOB % =Ati*+r*\also2a AU'+^a*OH*=a*.AH*+a*r* 
2 2 
2BU 2 +^OII 2 =BH 2 -\-r 2 , 2b 2 .BU 2 A-\b\OH 2 =b 2 .BH 2 +b 2 r 2 - 
2CU 2 +\oH 2 =CH 2 A-r\ 2c 2 .CU 2 -\- l c. OH 2 =c 2 . CH 2 +c 2 r 2 ■ 
also 2 O 2 . AU 2 + b 2 . BU 2 -f- c 2 . CU 2 ) -+- I (a 2 4- b 2 4- c 2 ) 
OH 2 = a 2 . All 2 4- & 2 . 5# 2 H- C 2 . C/i 2 r 2 (a 2 + 6 2 4- c 2 ); 
aber nach 142 ist a 2 . All 2 4- 6 2 . BH 2 4- c 2 . CH 2 = 4r 2 
(a 2 -j- b 2 -f- c 2 ) —■ (a 4 4- 4- c 4 ), 
also 2 (a 2 . AU 2 -h b 2 . BU 2 A- c 2 . CU 2 ) 4- -(,a 2 -f 6 2 4- c 2 ). 
(9 r 2 — (a 2 -4-i 2 4-c 2 )) = 5r 2 (a 2 4- b 2 4- c 2 ) — (a 4 4- & 4 4- c 4 ); also 
a 2 . AU 2 + 6 2 . BU 2 4- c 2 . CU 2 = ± . (a 2 -f & 2 +c 2 ) 2 -± • 
(a 4 + & 4 + c 4 ) + — r 2 (a 2 4- & 2 + c 2 ). 
Da aber () Schwerpunkt von A a 2 , J5 b 2 , C c 2 , so ist 
a 2 .4?7 2 -f 6 2 . W 2 -f c 2 . CU 2 = (a 2 -f b 2 -f c 2 ) . QU 2 -f 
3 a 2 b 2 c 2 
0^4- Z> 2 -f c 2 ’ alS0 
1 a 4 4- i 4 4- c 4 
QU = — (a 2 4- Z> 2 4- c 2 ) 
2 a 2 4- & 2 4- c 2 4 7 
3 a 2 b 2 c 2 
(a 2 -}- Z> 2 4- c 2 ) 2 ’ 
Die Potenz des Schwerpols Q in Bezug auf den Feuerbach'schen 
Kreis ist also 
1 a 4 4- 6 4 4- c 4 
H-3 
a 2 b 2 c 2 
2 ‘ a 2 4“ b 2 4~ c 2 ~* * (a 2 4-6 8 4-c s ) 2 4 
(a 2 4-& 2 -}-c 2 ),