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Vandermonde. 
Nun hat der Ausdruck: 
(a 2 b -f- b 2 c c 2 a — a 2 c — b 2 a — c 2 b), 
welcher auch gleich 
(a — b) (a — c) (b — c) 
ist, zum Quadrat den folgenden: 
a 4 b 2 + a 4 c 2 -+■ b 4 a 2 + b 4 c 2 + c 4 a 2 + c 4 b 2 
— 2 (a 4 bc + b 4 ac + c 4 ab) - 2 (a 3 b 3 + & 3 c 3 + c 3 « 3 ) 
+ 2 (a% 2 c -f n 3 c 2 & -f b d a 2 c + b z c 2 a + c 3 a 2 b 4- c% 2 ä) — 6a 2 b 2 c 2 . 
Demnach ist hiermit die zweite Bedingung für die allgemeine Auf 
lösung der Gleichungen des dritten Grades erfüllt. 
Was die dritte und letzte Bedingung anlangt, welche fordert, dafs 
man alle jene Gröfsen, welche hei der gegenseitigen Vertauschung der 
Buchstaben ungeändert bleiben, mittelst der Ausdrücke 
(a + b -f c), (ab + bc + ca), abc 
darstellt, so ist dieselbe, wie wir sogleich sehen werden, jederzeit sehr 
leicht zu erfüllen. 
IV. 
Da für die Gleichungen irgendwelchen Grades die wesentlichste Be 
dingung der allgemeinen Auflösung darin besteht, eine Function der 
Summe der Wurzeln, ferner der Summe ihrer Producte zu je zweien, der 
Summe ihrer Producte zu je dreien u. s. w. zu finden, und zwar eine 
Function, welche jede von diesen Wurzeln — unterschiedslos — zu liefern 
im Stande ist, so sieht man nunmehr, dafs sich diese Untersuchung in drei 
Hauptabschnitte teilen läfst, nämlich: 
1) Man soll eine Function der Wurzeln finden, von der man 
sagen kann, dafs sie jeder beliebigen unter diesen Wurzeln gleich 
ist, je nach der Bedeutung, welche man der Function beilegt. 
2) Soll man diese Function auf eine Form bringen, welche bei 
einer gegenseitigen Vertauschung der Wurzeln sicli nicht ändert. 
3) Soll man in diese Function die Werte einführen, die aus der 
Summe dieser Wurzeln, aus der Summe der Producte von je 
zweien u. s. w. gebildet sind. 
Da der dritte Gegenstand der einfachste ist, so wollen wir ihn 
zuerst behandeln.