Von der Kugel und Rund-Sänule. 14.9 
Hieraus kan nun leichtlich erhellen der obige Sat Archimedis,/ teil erſtlicßh H B und K B 
zivey ungleiche Lineen ſind/ und zu beyden das gemeine B F geſetßet tvird / daß daher HF und 
K F entſtehet ; nachmals zu dieſen bepden ungleichen wieder ein gemeines / E N, geſetzet wird 
daß H N und K N ertvachſen/ und daher/ ivas Archimedes beyderſeits ſchlieſſet/ vermög erſts 
ertvieſenenHtilf.-Sabtes/ nohtivendig folget. 
z. Dasdritte/ welches Erläuterns bedarf / iſt dieſes / daß Archimedes ferner ſchlieſſet/ 
tveil H F gegen K F eine kleinereVerhältnis hat/ als KF gegen F G, ſo ſey das Rechtekk aus 
H Fin FG kleiner als dieVierung vonKE ; und wiederumb/ weil B F gegen BE eine kleinere 
Verhältnis hat/ als H B gegen B F, ſo ſey die Vierung von BF kleiner als das Rechtekk aus 
H B in BE. Welches beydes auf dieſem allgemeinen Sat beruhet: 
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IWann aus dreyen Dingen das erſke gegen dem andern eine kleinere Ver- 
hältnis hat / als das andere gegen dem dritten / ſo iſt das kommende aus 
dem erſten in das dritte kleiner / als das Vermögen des mittlern ! Gröſſer 
aber hingegten / wann das erſke gegen dem andern eine gröſſere Verhältnis 
hat/ als das andere gegen dem dritten, 
 Dentvir abermals augenscheinlich alſo betveiſen : 4~ » Hat gegen e « eine kleinere Vers 
hältnis als e 4 gegen e e . Das aber/ was kommet aus dem erſten 4- « in das lezte e e4, 
iſt ee x 4 e e4 x z das Vermögen aber des mittlern iſt e e 4 ,, und alſo jenes augenſcheins 
lich kleiner als dieſes. Wiederumb : 4# x hat gegen e 4 eine gröſſere Verhältnis / als e 4 
gegen ee 2. Das jenize aber / was kommt aus dem erſten in das lezte / iſte e 44 + ee ax; 
und das Vermögen des mittlern wieder ee .4, augenſcheinlich kleiner als jenes. Es iſt aber 
auch umbgekehret / wann das kommende aus dem erſten in das lezte kleiner iſt als das Ver- 
mögen des mittlern / oder auch als das kommende aus ztveyen mitklern ( dann es gehet der 
Sas in 4. Dingen eben ſo getviß an / als in dreyen) alsdann die Yerhältnis des erſten gegen 
demandern kleiner / als des andern gegen dem dritten / oder ( vann 4. Dinge gegeben ſind ) 
des dritten gegen dem vierdten / K. Wie der verſtändige Leſer / nach Anleitung f ut 
Betveiſes leichtlich ſelbſten finden wird. 
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( oder vielmehr die Vierung B E.) Welches auf einem ſolchen allgemeinen Sat gegründet 
iſt / dergleichen tvir oben/ aus dem 11. Buch Luclidis / auf eine leichte Art bewieſen haben f 
nehmlich auf dieſem : 
Wann ein Ganzes in zwey gleiche / und wiederumb in zwey ungleiche 
Teihle geteihlet wird / ſoiſtdas gemachte aus denen beydenungleichen Teih- 
len allezeit kleiner als das Vermögen eines gleichen Teihls. 
. Deſſen Betveiß dann in dem sten des 1 1. Buchs ZWuclidis / den tvir oben bey dem 
R V I: Lehrſatz des I. Buchs allgemein bewieſen haben / allbereit würklich enthalten iſt ; Kan 
aber auch für ſich ſelbſten eben ſo leicht gegeben/ und auf Archimedis Vorhaben alſo gezogen 
werden : Jedengleichen Teihl des Ganzen (B P ) nehmlich B E und E D nenne man 2. ; F E 
aber heiſſe b ; ſo wird der gröſſeſte ungleiche Teihl ſenn 4 + b, der kleinere aber 4-6. Nun 
iſt das Vermögen eines gleichen Teihls / 44. 
 Secoiich aber & b führe in 
a b, o 
TMT. {2% tm 
aa + a b 
2.2 b. tiches augenſcheinlich kleiner iſt als cn. 
2Lutokius hänget bier eine Folge mit an/ welche zkvar eigentlich zu Archimedis Zivekk 
nicht vonnöhten/ anſich ſelbſten aber merkwürdig iſ ] daß nehmlich,/ je weiter die unguriche