260 Archimedis Anderes Buch von derer Flächen 
derer Kegel-Lineen die jenige Puncten/ in tvelchen sich die Durchmesser enden. ) So wir nug 
ziehen A B und B C, so ensstehet das Dreyekk A BC. tvelches mit der Parabel-Fläche einer- 
ley Grund-Lini und gleiche Höhe hat/ nehmlich die jenige Lini / welche aus B auf A C lenk- 
recht herunter fälle. Wann tvir nun ferner aus denen Scheitelpuncten derer Abschnitte 
A E B und BFC, nehmlich aus E und F, die/ mit B D gleichlauffende/ LineenE G und EO, 
zieljen/ so iverden dieselbe f;: Achschnitte ihre Durchmesser seyn. ( Dann es ist vonde: 
arabel ertviesen / daß alle / mit ihrem Durchmesser gleichlauffend- gezogene / Lineen auch 
urchmesser sepyen. Besihe unsere obige zweyte Berracheung in . y So sind nun E 
und F die Scheitelpuncten beyder Abschnitte A E B und BF C, und die durch E und F gezo- 
gene berührende Lineen gleichlaufsend mit A B und B C. Sooll nun betviesen tverden/ daß auch 
die Lini E L F mit A DC gleichlauffe/ und bon B D in zwey gleiche Teihle/ EL undL F, ge- 
teihlet werde. Dietveil dann EH und FK (nehmlich die berlängerten E G und F O) so tvol 
dem Durchmesser BD, als eine der andern selbst/ gleichlauffend sind/ und einander gleich ( Be- 
sihe folgende 2. Anmerkung ) so verhält sich wie B G gegen G A, also D H qegen HA, 
vermög des 2crenim V 1. B. Es ist aber B G dem GA gleich ( dann der Durchmesser 
E G teihlet alle / mit der äussern berührenden gleichlauffende/ in zwey gleiche Teihle ; Naue 
der Ersten Betrachtung ster Folge in V.) Derotvegen ist auch H H dem H A gleich; 
und/ durch gleichen Schluß auch D K dem KC. Mun ist aber auch die ganze DA der ganzen 
DC gleich. Westvegen dann auch ihre Helften/ D H und NK. und ( wveil E H und F K 
gleich sind ) auch I. E und L E so vol unter sich als denen vorigen / gleich sepn / vie auch die 
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in die Abschnitte A PE, E T B, B CF, F SC, obbesagter Weise Dreyckke verzeichnet/ und 
aus denen Scheitelpuncten derer Abschnitte die Lineen P 8, T V, Q W,, SL, mit BD gleich: 
lauffend ziehet/ so folget/ daß T Qund P S mit A C gleichlauffen / und von dem Durchmesser 
BD halbgeteihlet iverden. Jst also noch zu betveisen/ daß hingegen diese gleichlaufsende Li- 
neen/ TCL EF, PS, den Durchmesser B D also teihlen / daß / tvann B A eins ist/ A L drey/ 
I D fünf/ und H D sieben sepy. Danntveil aus obbetviesenem klar ist / ‘daß A D dobpelt so 
groß sey als D H, d. i. als EL. so muß die Vierung bon A D biermal so groß scyn als die Yie- 
rung von E L, vermög dcs 20sken im V 1. B. Nun aber verhält sich,/ tvie die Vierung A D 
gegen derVierung E L, also B D gegen B L ( Besihe der Lrsten Beer. 7de Folgein V.) 
ss. ist B D biermal so groß als B L, und solgends/ LD dreymal so groß als BL, d. i. 
lvann BL eins ist / so muß L D dreyseyn ; oder iwann B L biere zu seyn gesetet tvird / so muß 
I. D ztvölfe sepyn. Gleicher Weise/ tveil EN und NB, und folgends E E und F L gleich sind/ 
d. i. E L ziveymal so Froßist als FL, d. i. als TA, so ist die Vierung EL viersnal so groß als 
die Vierung TA, und also B L’ biermal so groß als B A. Derohalben tvann B A eins ist / 
muß B L viere/ und A L dreye se nn. Wiederumb tvird‘aus gleichem Grund betviésen / daß/ 
ktveil A M und M E Gleich sind / daß auch A S und SH, und folgends auch H V und V D (alle 
bier nehmlich einander) gleich seyen/ und daher A D gegen P V sich verhalte / wie 4 gegen z; 
und die Vierung AD gegen der Vierung P D, tvie 16 gegen g. Westvegen dann abermal 
B I) gegen B D sich verhält/ iwie 16 gegen 9 , also daß / tvann B D 9 ist/ das übrige D D r sepyn 
muß. Nun dann aus demvorhergehenden bekannt ist/ daß / wann B D 16 ist/ alsdann B A 
eins / A Ldreye / IL D zivölfe und DD siebene sey ; so muß nohtivendig ( tvann D D bon L D 
ivegtoinmet ) das übrige L N fünfe seyn. Also daß nunmehr offenbar ist / wié der Durch- 
tnesser B D durch die Lineen T Q. E F, PS, nach der Verhältnis derer bon eins an ordentlich 
folgenden ungeraden Zahlen/ 3, F . 7, &c. zerteihlet tverde : gleich tvie im Gegenteihl zugleich 
erhellet/ daß die Quehr-Lineen TA, EL, P D, A D, bon dem Durchmesser nach denen bon 
eins an ordentlich folgenden Zahlen ( keine ausgelassen ) geteihlet tverden. Dann tvie TA 
eins ist/ so i E I zwey / P D drey/ AD vier / X. wie aus dem Aufriß genugsam zu ersehen ist. 
2. In diesem Betveiß Lueokii (den tvir aber hin und wieder erläutert haben ) ist dieses 
noch nicht getviß gemachet/ daß die Lineen E H und FK einander gleich seyen. Lutokius be- 
ruffet sich zwar auf das 6. der Bücher Apollonii von denen Kegel-Lineen. Weilen aber ge- 
dachte Bücher nicht ein jeder zur Hand hat / tvollen tvir solches folgender Gestalt beiveisen : 
Weilen die Lini E F noch nicht betviesen ist mit A E gleichlaussend zu seyn/ sondern solcher Be- 
tveiß eben auf gegentvärtigem Sas beruhet / den tir zu ekräftigen für uns haben / so wollen 
ivir uns indessen einbilden/ daß sonst eine Lini aus F auf B D, mit A C gleichlauffend/ gezogen 
[ey/ die vir auch FL nennenmögen. Welchem nach sich verhält wie BD gegen BL ( d. i.BC 
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