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der Fleineſten eine kleinere Verhältniß habe - als die gröſſeſte derer 
beyden gegebenen Gröſſen gegen der kleinern. 
Die Auflöſung der Aufgab. 
Es seyen zum Exempel heather zivey ungleiche Gröſſen/ nehmlich A B die 
gröſſere/ und D die kleinere. Diezwey begehrte Lineen nun zu finden/ verfahre 
alſo: Von der gröſſeren A B ſchneideabdas Stück B C ſogroßals diekleinere D, 
nach der z ten Aufgab des Erſken Buchs Luclidis; darnach vervielfältige CA 
ſo oft / biß heraus komme AK, welches gröſſer ſey als D oderBC, nach dem VII. 
obigenGrundſatz. Endlich mache / daß/ iwie AK ſich verhält gegen AC, alſo 
eine andere (nach belieben genommene) Lini FG ſich verhalte gegen G H, nach 
dem 12ten Lehrſatz des ſechſken 
Buchs Luclidis ; ſo werdenalsdann 
F G und F H diebegehrte beydeLineen 
ſeyn/ und FH gegen FG eine kleinere 
Verhältnis haben - als die gebene 
Gröſſe AB zu der kleinern D. 
Bewelß. 
Dann AC hat gegen D oder BC ( ſo einander gleich ſind ) eine gröſſere 
Verhältnis/ als gegen AK, welche grôöſſer als D iſt / nach dem sten Lehrſatz 
des V. Buchs Lüuclidis. Nun aber verhält ſich FG gegen GH tvie AK ger 
gen AC, vermög obiger Aufisöſung / und alſo auch umbgekehrt / GH gegen 
F G, wie AC gegen AK, nach der Folge des atenLehrſatzes im füinfftenBuch 
ELuclidis. Derotvegen muß nun auch AC gegen D oder BC, eine gröſſere 
Verhältnis haben/ als G H gegen F G ; oder (welches gleich viel iſt) GH muß 
gegen F G eine kleinere Verhältnis Haben als AC gegen D oder BC. Und alſo 
endlich (vermög des 28. Lehrſatzes Luclidis in ſeinerm V.ten Buch) auch 6 H 
ſamt F G ( das iſt die ganze Lini FH) muß gegen FG eine kleinere Verhältnis 
haben/ als A C ſamt D (oder BC) dasiſt/ die ganze Lini A B gegen D. Wel- 
ches ſolte bewieſen werden. 
Anmerkung. 
Archimedes hat ſich in Auflöſung dieſer Aufgab / als tvir oben geſehen / bedienet. Des 
VTI.den obigen Grundſatzes/ und begehrt / daß C A ſo oft widerholet oder verbielfältiget wer- 
de/ biß A K herauskomme/ welches gröſſer ſey als D oder B C. Und dieſes hat er darumb ges 
talſn/ damit A K gegen A C ( undalſo auch F G gegen G H ) eine leichte / nehmlich eine viel- 
fache ( mulciplicem rationem ) Verhältnis bekomme / das iſt / eines das andere gerad etliche 
mal in ſich halte daß nichts überbleibe und nichts mangele/ damit die Verhältnis der Lini FG 
gegen G H, ohne ferner nöhtigen Beieiß leichtlich möge gefunden iverden / in dem man nehm- 
lich eine nach belieben genommene Lini GH nur ſo oft tviderholen und zu ihr ſelbſten ſeßen dürs 
fen/ als oft A C in ARKenthalteniſt. 
Weilen wir aber aus dem 12ten Lehrſatz des ſechſten Buchs Lruclidis ( den tvir alſo in 
obigem Betveiß wol hätten auslaſſen können ) leichtlich machen können/ daß GH gegen FG ſich 
berhalte/ ivie AC gegen AK, oder gegen A B , oder gegen einer jeden andern Gröſſe ; ſo kön- 
ten ivir der Vervielfältigung des C A/ und daher auch des daraus entkſpringenden A K, gar wol 
entbehren/ und( A B für A K gebrauchend ) den Betveiß kürzer alſo verfaſſen : Weil A C ge- 
gen A B dem gröſſern eine kleinere Verhältnis hat / als gegen D oder BC dam kleinern ; GH 
aber gegen F G iſt gemachet ivorden tvie A C gegen A B, ſo folget/ daß auch GH gegen F G eine 
kleinere Verhältnis habe/ als A C gegen D oder BC ; und gleichfalls GH und F G zuſammen 
( das iſt FH ) gegen r G einekleinere Verhältnis als A C und D ( oder BC) zuſammen ( das 
iſt A B ) gegen D ; welches zu betveiſen war. 
Von der Kugel und Rund-Senule. 
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