Première Partie. Livre I. 
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condition, à savoir celle qui concerne la limitation du rayon vecteur, ne 
peut guère s’exprimer, d’une manière aisée, en maintenant les coordonnées 
rectangulaires. Eemplaçons-les donc par des coordonnées polaires. 
Dans ce but, désignons par r le rayon vecteur, par v, l’angle que fait 
le rayon vecteur avec une direction fixe et par co , l’angle entre l’axe de x 
et la dite direction. Cela posé, nous aurons: 
x — r cos (v — co) ; y = r sin ( v — co), 
d’où l’on tire, par différentiation, 
dx dr , , . , v 
— = -y-cos (v — co) — r sm (v — co), 
dv dv v ' ' ' 
dy dr . . N N 
-r- = y-sm (v — co) 4 - rcos (v — co). 
dv dv ' ' ' 1 
Par division, il en résulte finalement: 
dy 
dx 
dr 
dv 
dr 
dv 
sili ( v — cd) + r cos (v — co) 
cos (v — co) — r sin (y — co) 
De cette expression, on déduit, après avoir effectué une seconde diffé 
rentiation, et en remplaçant le facteur ~, par son expression en v , r et , 
cix et V 
d'y 
dx 2 
d V / dr 
— r -r—„ + 2 
dv' 
dv 
+ r 
dr P 
— cos (v — co) — r sin (v — co) 1 
dv 
Avec les expressions que nous venons d’établir, l’équation (i) prend la 
forme 
d*r [dr \ * 
T d?~ 2 \dv) ' 
-y- cos (v — co) — r sin (v — co) 
dv. 
r sin (y — co) 
//, 
où l’on peut se figurer II comme une fonction de r et de v. 
Mais l’équation à laquelle nous sommes parvenus, est susceptible d’une 
simplification assez considérable. En effet, la condition de la concavité non 
interrompue vers une droite qui passe par le centre dans une direction telle