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Ellipse. 
Zug verbindet. Aus dieser Konstruktion 
folgt die erwähnte Symmetrie der E. gegen 
beide Achsen, und aus dieser ergibt sich 
wieder, daß jede durch den Punkt O gehende 
Sehne (Verbindungslinie zweier Punkte) 
der E., wie P, P, in 0 halbiert wird. Des 
halb nennt man 0, wie schon erwähnt, 
den Mittelpunkt der E.; jede durch ihn 
gehende Sehne P t P heißt ein Durch 
messer und seine Hälfte ein Halbmes 
ser der Linie. Während beim Kreis alle 
Durchmesser gleichgroß sind, haben sie bei 
der E. verschiedene Länge; die Hauptachse 
ist der größte Durchmesser, die Nebenachse 
der kleinste. 
2) Die vorgeführte Konstruktion zeigt, 
daß man einen Ellipsenpunkt P erhält, 
wenn man den Abstand MQ des Punktes 
Q auf dem größern Kreis von der Haupt 
achse Ai A in dem Verhältnis a : b (OA : 
0 B) verkürzt; es besteht also die Proportion 
MQ:MP = a:b, 
aus welcher folgt 
MQ = -*-MP. 
Bezeichnet man OM mit x, MP mit y, 
und beachtet man, daß dem Pythagorei 
schen Satze zufolge 
OM 2 + MQ 2 — a 2 
ist, so ergibt sich aus bcnt vorigen die 
Gleichung ^ ^ | 
a 2 ' b 2 1 
oder b 2 x 2 + a 2 y 2 — a 2 b 2 , 
welche man die Gleichung der E. in 
rechtwinkeligen Koordinaten nennt. 
Die Linien x und y, durch welche die Lage 
eines Punktes P gegen die Achse bestimmt 
ist, heißen nämlichdieKo ord inaten des 
selben. Jede derselben kann positiv oder 
negativ gerechnet werden: x ist positiv in 
der Richtung von 0 nach rechts, y in der 
Richtung nach oben; in den entgegenge 
setzten Richtungen sind die Koordinaten 
negativ. 
3) Setzt mait den Zirkel in einem der 
beiden Punkte B oder B t ein und schlägt 
mit dem Halbmesser a einen Kreis, so 
schneidet derselbe die Halbachse in den bei 
den Punkten P und G (Fig. 2), welche 
die Brennpunkte der E. heißen. Der 
Abstand eines Brennpunkts vom Mittel 
punkt 0 heißt die lineareErzentrizi- 
t ä t. Aus dem bei 0 rechtwinkeligen Dreieck 
POB erhält man mittels des Pythago 
reischen Satzes für diese Linie den Wert 
GO — OP = v/a 2 — b 2 . 
Dividiert man diese Länge mit der Haupt 
achse a, so erhält man einen eckten Bruch, 
den man in der Geometrie die nume- 
xichche E r z e n t r i z i t ä t der E. nennt. In 
der Astronomie versteht man aber unter 
»Exzentrizität« immer die numerische, nie 
mals die lineare. Man bezeichnet sie mit 
e, und es ist also 
e — y/a 2 -b 2 
Je größer die Nebenachse im Vergleich zur 
Hauptachse ist, desto kleiner ist die Exzen 
trizität e; beim Kreis, den man als eine 
E. mit gleichlangen Achsen betrachten 
kann, hat dieselbe den Wert Null, und je 
näher die E. denr Kreis kommt, desto klei 
ner ist der Wert der Exzentrizität. 
4) Die Verbindungslinie eines Punktes 
P der E. mit einem Brennpunkt wird ein 
Radius Vector oder Leitstrahl ge 
nannt. Zu jedem Punkt P gehören hier 
nach zwei Leitstrahlen PP und GP. Fällt 
man von P auf die Hauptachse die Senk 
rechte MP, so kann man die Längen dieser 
Leitstrahlen berechnen aus denbeiden recht 
winkeligen Dreiecken PMP und GMP 
(Fig. 2), deren Katheten die Längen 
MP—y,MF — ae — x, GM— ae +x 
haben. Setztman dabei stattyseinen aus der 
Gleichung der E. entnommenen Wert ein, 
so liefert die Rechnung der beiden Resultate 
PP — a — ex, GP = a 4- ex. 
Durch Addition dieser zwei Gleichungen 
erhält man die neue 
PP-j-GP —2a, 
d. h. die Summe der beiden Leitstrahleil 
hat für alle Punkte einer E. denselben 
Wert, sie ist nämlich gleich der Hauptachse. 
Diese wichtige Eigenschaft der E. führt 
zu folgender Konstruktion, bei welcher die 
Hauptachse und die Brennpunkte als be 
kannt vorausgesetzt werden: Man gebe 
sich zwischen 0 und F mehrere Punkte an, 
so wie B einer ist (am zweckmäßigsten 
wählt man dieselben in der Nähe von 0 
weil auseinander liegend, in der Nähe von