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Gravitation (Gesetze der Planetenbeweguug). 
welche uns die Gestalt der Bahn angibt. 
Zu dem Zweck denken wir uns durch den 
Sonnenmittelpunkt eine feste Gerade ge 
legt und bezeichnen den Winkel, den der 
Radius Vector mit dieser Geraden ein 
schließt, mit rp. Nennen wir dann noch 6 
die Flächen ge schwi ndigk eit, d. h. die 
Fläche, welche dem zweiten Kcplerschen 
Gesetz zufolge der Radius Vector in jeder 
Sekunde überstreicht, so ergibt sich bei 
einer gewissen Wahl der festen Geraden 
die Gleichung v 
r — (4) 
1 1 + e cos cp 
in welcher ^ 46» 
P k a (1 + I») 
(5) 
und 
e 2 = l 
4cC a 
k 4 (1 •+ m) a 
(6) 
ist. Aus dem Art. »Kegelschnitte« er 
hellt aber, daß die Gleichung (4) einen 
Kegelschnitt darstellt, und zwar ist der 
Punkt, von welchem der Radius Vector 
ausgeht, also der Sonnenmittelpunkt, ein 
Brennpunkt dieses Kegelschnitts, die feste 
Gerade ist seine Hauptachse, p das Para 
meter und 6 die Exzentrizität. 
Hierin liegt eineErweiterung des ersten 
Keplerschen Gesetzes. Während nämlich 
dieses sagt, daß alle Planeten sich in Ellip 
sen um die in einem Brennpunkt stehende 
Sonne bewegen, folgt auS dem Newton- 
schen Gravitationsgesetz lediglich, daß die 
Bahn eines unter dem Einfluß des letz- 
tern sich bewegenden Körpers eine Ellipse 
sein kann; sie kann aber auch eine Pa 
rabel oder eine Hyperbel sein. Ob nun 
thatsächlich das eine oder das andre statt 
findet , das hängt von dem Werte der Ex 
zentrizität 6 ab: ist diese gleich 1, so ist die 
Bahn (4) eine Parabel,'ist sie größer als 
1, eine Hyperbel, ist sie aber kleiner 
als l, eine Ellipse. Aus der Gleichung (6) 
ist nun ersichtlich, daß der erste, zweite oder 
dritte Fall eintritt, je nachdem die Größe 
o gleich 0, negativ oder positiv ist. Mittels 
des in der Gleichung (3) angegebenen 
Werts von c lassen sich diese Bedingungen 
in der Form angeben, daß die Bahn eine 
Parabel ist, wenn ^ 
v 0 = k 
2 (1 + m) 
r„ 
eine Hyperbel, wenn 
v 0 großer als k W —^ 
endlich eine Ellipse, wenn 
v 0 kleiner ist als k \J 2 0 + m >. 
Es ist hierbei bemerkenswert, daß 
die Art der Kurve, in welcher der Körper 
sich bewegt, nicht abhängt von der 
Richtung, sondern nur von der 
Größe der Geschwindigkeit v 0 , die dem 
Körper anfänglich zukommt. 
Ferner erkennt man, daß bloß bei einer 
einzigen Größe von v 0 eine parabolische 
Bahn entsteht, dagegen in unendlich vie 
len Fällen eine hyperbolische und ebenso 
in unendlich vielen eine elliptische Bahn. 
Gleichwohl beobachten wir thatsächlich bei 
den Planeten und manchen Kometen ellip 
tische, bei vielen der letztern aber auch 
parabolische und nur bei einer geringen 
Anzahl hyperbolische Bahnen. Doch ist 
es beiden Kometenbahnen, die wir als 
parabolisch betrachten, noch zweifelhaft, ob 
wir es mit wirklichen Parabeln oder nur 
mit sehr lang gezogenen Ellipsen oder 
Hyperbeln zu thun haben. 
10) Wir wollen jetzt noch den Fall der 
elliptischen Bewegung bettachten. 
Zunächst ist hier (vgl. Ellipse) das Para 
meter p = a (1 - e 2 ), 
die Exzentrizität bedeutet; diehalbe Neben 
achse ist demnach 
d — a y/i — e a 
und mithin die Fläche der Ellipse 
ab7? — a 2 « x/i — e a . 
Bezeichnet man nun die (in Sekunden 
ausgedrückte) Umlaufszeit des Planeten 
mit u, so findet man für die Flächen 
geschwindigkeit 0 den Ausdruck 
„ a b n a a n \/1 — e* 
Anderseits ist der Gleichung (5) zufolge 
C=|k\y P (l+m), 
und wenn man in diese Gleichung den 
Wert p—a(l — e 2 ) einsetzt und beide 
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Astronomie.