523 
Trigonometrie (Funktionen beliebiger Winkel)- 
um den Punkt 0 als Mittelpunkt einen 
Kreis mit dem Halbmesser OA schlagen; 
ein zweiter Radius mag sich von der An 
fangslage OA aus drehen in der Richtung, 
die der Bewegung eines Uhrzeigers gerade 
entgegengesetzt ist. Wir haben in der Figur 
vier Lagen dieses drehbaren Halbmessers 
angegeben: 08, 00, OE und OE, welche 
mit dem festen Halbmesser O A den spitzen 
Fig- 2. 
Winkel u, den stumpfen Winkel 180°—u 
und die beiden konvexen Winkel 180°-s-n 
und 360°—u einschließen. Von den End 
punkten 8, 0, E und F sind auf den 
Halbmesser OA und seine Rückverlänge- 
rnng 01) die Perpendikel 80, 08, E H 
und FG gefällt, welche, wie man leicht 
bemerkt, alle vier von gleicher Länge sind. 
Wir wollen nun unter Sinus eines 
Winkels den Bruch verstehen, dessen 
Nenner derKreisradius und dessen Zähler 
das vom Endpunkt des zweiten Schenkels 
auf den ersten oder seine Rückverlängerung 
gefällte Perpendikel ist. Hiernach ist, mit 
dem frühern völlig übereinstimmend, 
86 
sinu = ob' 
ferner aber 
sin(180°-u) = £§ 
sin(180°fu) = £§ 
sin (360°—u) = ^|- 
Die Zahlwerte dieser vier Brüche sind 
gleichgroß; da aber die Perpendikel 80 
und OH oberhalb, dagegen EH und FO 
unterhalb des Durchmessers AH liegen, 
so rechnet man die beiden ersten positiv 
und erteilt ihnen das Zeichen + (plus), 
die beiden letzten aber werden negativ ge 
rechnet und mit dem Zeichen — (minus) 
versehen. Es ist hiernach 
sin(180°— u) = + sinu ] 
sin (180°+u) = — sinu i (a) 
sin (360°—u) — — sinu I 
Man nennt ferner das Stück des Durch 
messers AH vom Mittelpunkt bis zum 
Fußpunkt des erwähnten Perpendikels 
die Projektion des beweglichen Radius 
auf den festen Durchmesser. Unter Kosi 
nus eines Winkels versteht man dann die 
Projektion, dividiert durch den Radius, so 
daß, in Übereinstimmung mit dem frühern, 
ferner aber 
cos(180°-u) = o+' 
cos (180°+u) = ^ 
cos (360°—u) = ^ 
ist. Hier find nun die Nenner alle gleich, 
im Zähler dagegen find 00 und OH 
zwar gleich, liegen aber von 0 aus nach 
entgegengesetzten Seiten. Deshalb rechnen 
wir Ö 0 positiv, OH dagegen negativ und 
erhalten nun die Formeln 
cos (180°— u) = — cosu | 
cos(180°+u) = — cosu > (b) 
cos(360°—u) = + cosu J 
Wenn wir ferner Tangente und Kotan- 
gente durch die Gleichungen 
tanu — - 
cotu = 
erklären und berücksichtigen, daß ein Quo 
tient das Zeichen + erhält, wenn Zähler 
und Nenner gleiche Zeichen (+ und + 
oder — und —) haben, dagegen das Zei 
chen —, wenn Zähler und Nenner ver 
schiedene Vorzeichen besitzen, so gelangen 
wir noch zu den Formeln 
tan (180°— u) = — tanu ] 
tan (180°+u) = + tanu > (c) 
tan (360°—u) — — tanu J 
und 
cot (180°—u) — — cotu 1 
cot(180°+ u) — + cotu > (d) 
cot (360°—u) — — cotu J