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Trigonometrie (Zeichenwechsel der Funktionen). 
Man sieht daraus, daß inan nur die 
Werte der Funktionen für die Winkel des 
ersten Quadranten von 0—90° zu kennen 
braucht, denn die Zahl',verte jeder Funk 
tion sind gleichgroß für einen spitzen Win 
keln und für die Winkel 180°—n, 180°-s-u 
und 360°—u. Wie aber die Vorzeichen 
sich ändern, das erkennt man auS den 
Formeln (a) bis (d) oder übersichtlicher 
aus nachstehendem Täfelchen: 
sin 
cos 
tan 
cot 
U 
+ 
+ 
+ 
+ 
180»—n 
+ 
— 
- 
180°+u 
— 
+ 
+ 
360°—u 
- 
+ 
- 
- 
In manchen Fällen kommt eS vor, daß 
ein Winkel in entgegengesetzter Richtung 
gerechnet wird oder, wie man gewöhnlich 
sagt, negativ. Wir wollen unö zur kla 
rern Vorstellung denken, in Fig. 2 werde 
der Radius aus der Lage 0 A in derselben 
Richtung gedreht, wie der Zeiger einer Uhr 
sich bewegt. Wenn der Radius dann in 
die Lage OF kommt, so hat er den nega 
tiven spitzen Winkel AOF— — u be 
schrieben, und es ist daher 
sin (- u) = -, cos (- u) = öx. 
d- h- 
sin(— u)——sin u, cos (— n)—-s- cos u, 
woraus weiter folgt 
tan(—u)= — tan u, cot(—u)= —cot u. 
Man überzeugt sich leicht, daß diese 
Sätze auch für Winkel von beliebiger 
Größe gelten. Wir können daher sagen: 
Der Kosinus eines Winkels ändert sich 
nicht, wenn der Winkel sein Vorzeichen 
ändert; die Funktionen Sinus, Tangente 
und Kotangente ändern in diesem Fall 
ebenfalls das Vorzeichen. 
3) Wir wenden uns nun zur Berechnung 
eines schiefwinkeligen Dreiecks AL0, des 
sen Winkel A, B, C und dessen Seiten 
BO — a, AC — b, AB — c heißen 
mögen. In Fig. 3 ist von 0 auf die Ge 
genseite die Senkrechte 0I> gefällt, wobei 
in der Figur links B zwischen A und B zu 
liegen kommt, während in der Figur rechts, 
in welcher der Winkel A stumpf ist, der 
Punkt I) auf die Verlängerung von AB 
fällt. Es ist nun in beiden Figuren 
im rechtwinkeligen Dreieck AOI) 
sin 0 AB — 
im rechtwinkeligen Dreieck BOB 
smB — — 
In der Figur links ist nun der Winkel 
OAB — A, in der Figur rechts dagegen 
—180° —A; da aber sin(180° — A) 
— sin A ist, so kann man der ersten Glei 
chung in jedem Fall die Form geben 
. . 60 
8111A — —• 
Dividiert man nun den Wert von 
sinA mit dem von sinB, so hebt sich OB, 
und man erhält 
oder sinA: sinB = a : b. 
Dieser Satz gilt in gleicher Weise für 
jedes Paar Dreieckseitcn und die Gegen 
winkel und läßt sich in den Worten aus 
sprechen : Zwei Seiten eines Dreiecks ver 
halten sich >vie die Sinus ihrer Gegen 
winkel. Man bezeichnet ihn gewöhnlich 
als den Sinussatz. 
Mit Hilfe desselben kann man die häufig 
vorkommende Aufgabe lösen, aus einer 
Seite eines Dreiecks und zwei Winkeln 
die übrigen Seiten und den dritten Win 
kel zu finden. 
Da die drei Winkel zusammen 180° 
betragen, so findet man den dritten, in 
dem man die Summe der gegebenen zwei 
von 180° abzieht. Wir wollen daher im 
folgenden ohne weiteres alle drei Winkel 
A,"B und 0 als bekannt annehmen. Ist 
nun a die gegebene Seite, so hat man die 
zwei Proportionen 
sinA: sinB — a : b, 
sinA : sinC = a : c, 
aus denen folgt 
, a - sin B a - sin C 
b — C — . ■ • 
sm A sin A 
Ist z. B. a — 325,3 m, B —25°12', 
0 — 118° 30', so ergibt sich zunächst 
A—36°18'. Ferner gibt uns unsre Tafel 
der Funktionswerte, S. 520: 
SinA — 0,5920, SinB — 0,4258,