Trigonometrie (schiefwinkelige Dreiecke). 
und da sin 0 — sin (180° — C) = 
sin 61°30' ist, so findet man auch 
SM C — 0,8788. 
Sonach liefert uns der Sinussatz 
325,8 - 0,4258 
0,5920 
325,8 - 0,8788 
— 233,6 m und 
v A - = 482,9 m. 
0,5920 ' 
Nächst dem Sinussatz kommt öfters 
noch ein Satz zur Verwendung, den 
man als eine Erweiterung des Pythago 
reischen Lehrsatzes auf das schiefwinkelige 
Dreieck bezeichnen kann. Er läßt sich auf 
folgende Weise ableiten: 
In der Fig. 3 setzen wir AD=x; 
dann ist links BD —c —x, rechts aber 
BD = c-f-x, und wir erhalten mit Hilfe 
des Pythagoreischen Satzes die folgenden 
Gleichungen: 
links 
im AACD 
- abcd 
im A ACD 
- abcd 
b 2 =CD + x 2 
a 2 =CD 2 -f(c—x) 2 , 
rechts 
b 2 =CD 2 + x 2 
a 2 =CD i +(c+x)l 
Fig. 3. 
Schiefwinkelige Dreiecke. 
Subtrahiert man die obere Gleichung 
von der untern, so hebt sich cd 2 weg, und 
man kommt auf eine der beiden Glei 
chungen: 
links 
a 2 — b 2 = (c — x) 2 — x 2 , 
rechts 
a 2 — b 2 = (c + x) 2 — x 2 . 
Beachtet man nun noch die Gleichungen 
(c — x) 2 = c 2 — 2cx + x 2 
(c + x) 2 = c 2 -f- 2 cx -j- x 2 , 
so hebt sich auch x 2 , und man kann schreiben 
links 
a 2 — b 2 + c 2 — 2c x, 
rechts 
a 2 —b 2 -h- c 2 -s-2cx. 
Nun ist in dem Dreieck links 
x — b • cos A, 
in dem Dreieck rechts aber 
x — b • cos (180° — A) = — b cos A. 
Die Einsetzung dieser Werte von x in 
unsre zwei Gleichungen liefert nun in 
beiden Fällen, mag der Winkel A spitz 
oder stumpf sein, ein und dieselbe Glei 
chung, nämlich 
a 2 —b 2 -s-c 2 — 2bc - cosA, 
welche unsern Satz ausdruckt. 
Für A— 90° ist cosA = 0, und die 
Gleichung lautet 
a 2 — b 2 + c 2 ; 
dies ist aber der Pythagoreische Lehrsatz, 
und ebendeshalb haben wir den allgemei 
nern Satz als eine Verallgemeinerung des 
Pythagoreischen Lehrsatzes bezeichnet. 
Zwei ähnliche Formeln wie für a 2 gel 
ten auch für b 2 und c 2 . 
Die beiden Lehrsätze, welche wir ent 
wickelt haben, nämlich der Sinussatz: 
a: b — sinA : sinB, 
b : er- sinB : sin6, 
a: er— sinA: sinC 
und die Erweiterung des Pythago 
reischen Satzes: 
a 2 — b 2 -P c 2 — 2b c • cosA, 
b 2 = c 2 -}-a 2 — 2ca - cosB, 
c 2 rrr a 2 —j- b 2 — 2 ab • cos C, 
reichen in Verbindung mit dem Satz 
A + B + C = 180° aus zur Be 
rechnung der fehlenden Stücke eines 
ebenen Dreiecks auö drei gegebenen, 
zur Bestimmung genügenden. Wie man 
in jedem einzelnen Fall zu rechnen hat, 
zeigt die nachstehende Tabelle (S. 526). 
4) In einem rechtwinkeligen sphärischen 
Dreieck (vgl. Kugel) mit den Katheten a 
und b, die den Winkeln A und B gegenüber 
liegen, und der Hypotenuse c hat man 
1) cose cosa-cos b 
I cosA — 
tanc 
T tana 
cosB — —