Sur les maximums et minimums des intégrales aux différences. 
On peut, comme on sait, trouver les conditions pour que l’intégrale d’une 
différentielle donnée soit un maximum ou un minimum entre des limites déter 
minées. Je vais dans ce mémoire montrer comment on peut déduire de sem 
blables équations de condition pour des maximums ou minimums des intégra 
les aux différences. 
Considérons une fonction f(x, g, z, etc. dx, dy, dz,.. d^x, d*y, d^z ...) 
de plusieurs variables et de leurs différences finies. Son intégrale est 
2f(x, y, z etc. dx, dy, dz etc.), et si cette intégrale doit être un maximum 
ou un minimum entre certaines limites, il s’ensuit que sa variation doit être 
égale à zéro. On aura donc, 
dSf{x, y, z ... dx, dy, dz ... etc.) = 0 
ou bien 2df(x, y, z ... dx, dy, dz ... etc.) = 0. 
En effectuant la variation on obtiendra: 
\f'{x). dx + f’(y). dy + f'(z).dz...-\- f'(dx). ddx-f f'{dy).ddy +/’'(- /2). ddz +...) -0. 
Avant d’aller plus loin il faut considérer si entre les variables et leurs diffé 
rences il y a des équations de condition tant de telles qui ont lieu pour toute 
l’intégrale que de telles qui n’ont lieu que pour les limites. 
Le procédé le plus direct serait d’éliminer de ces équations de condition 
autant de variations qu’il y a d’équations, et les .substituer ensuite dans l’équa 
tion précédente; mais cette élimination étant souvent très pénible ou même im- 
pratiquable, je me servirai de la méthode employée par Lagrange dans le calcul 
des fonctions. La voici: 011 multiplie la variation de toute équation de condi 
tion par une quantité indéterminée, qui est en général une fonction de x, y et z 
et 011 ajoute le produit à l’expression sous le signe d’intégration. Soit donc 
dv = 0, dv' = 0, dv" = 0, etc. les variations de ces équations de condition et 
/.' A" etc. des quantités indéterminées, et l’on aura: 
Tome second. 
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