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proposée soit décomposable en fi x équations, chacune du degré // 2 , et dont 
les coefficiens dépendent d’équations du degré 
4. ”Si une équation irréductible du degré où fi est premier, est résoluble 
algébriquement, on pourra toujours exprimer une quelconque des racines 
par la formule: 
où f désigne une fonction rationnelle et symétrique des radicaux entre 
les parenthèses, eti?j, R 2 , ... R a des racines d’une même équation dont 
le degré est tout au plus égal à /t* — 1.” 
Ces théorèmes sont les plus remarquables auxquels je suis parvenu, mais 
outre cela on trouvera dans le cours du mémoire une foule d’autres propriétés 
générales des racines, propriétés qu’il sera trop long de rapporter ici. Je di 
rai seulement un mot sur la nature des radicaux qui pourront se trouver dans 
l’expression des racines. D’abord le troisième théorème fait voir que, si le 
degré d’une équation irréductible est représenté par 
il ne pourra dans l’expression des racines se trouver d’autres radicaux que 
ceux qui pourront se trouver dans l’expression des racines d’équations des 
degrés ^«1, /'/2, iU 3 a 3,. .. 
A l’aide des théorèmes généraux auquels on est ainsi parvenu, on en a 
ensuite déduit une règle générale pour reconnaître si une équation proposée 
est résoluble, ou non. En elfet, on est conduit à ce résultat remarquable que, 
si une équation irréductible est résoluble algébriquement, on pourra dans tous 
les cas trouver les racines à l’aide de la méthode de Lagrange proposée pour 
la résolution des équations; savoir, en suivant la marche de Lagrange on doit 
parvenir à des équations qui aient au moins une racine qui puisse s’exprimer 
rationnellement en les coefficiens. Il y a plus, Lagrange a fait voir qu’on peut 
à celle de équa- 
à l’aide d une équation du de- 
ramener la résolution d’une équation du degré 
tions respectivement des degrés 
gré . Nous démontrerons que c’est cette équation qui doit nécessaire 
ment avoir au moins une racine exprimable rationnellement en ses coefficiens 
pour que l’équation proposée soit résoluble algébriquement. 
Donc, si cette condition n’est pas remplie, c’est une preuve incontestable 
que l’équation n’est pas résoluble; mais il est à remarquer qu’elle peut être