XXI 
Détermination d'une fonction au moyen d'une équation qui ne contient qu'une 
seule variable. 
1. 
Mja fonction fx étant donnée, trouver la fonction (px par l’équation 
(px -f- 1 — 
Soit x = tyy et fx = \p(y -f-1), on aura 
1 +W = 9>^(y +1); 
ou bien cpviy + 1) — Wy = 1 ; 
c’est-à-dire A cpyy = 1 ; 
donc en intégrant (p\py =y -f- %y, 
où %y signifie une fonction périodique quelconque de y, de sorte que 
x(y + i) = xy- 
Maintenant tyy = x, d’où l’on tire y = 'yx, et par conséquent 
(px — 'yx -f- xi'tyx) (1) 
Il s’agit maintenant de trouver la fonction 'qx. Cela se fait comme suit. 
On a x = ipy et fx = ^(y 1); donc 
V(y + l) = fVy ( 2 ) 
Voilà une équation aux diiférences finies, d’où l’on tire \py, et cette fonction 
étant connue, on a 
x = 1py et de là y = 'ipx. 
De ce qui précède, on voit que le problème est toujours résoluble, et qu’il a 
même une infinité de solutions. 
Supposons par exemple fx = x n , l’équation (2) deviendra 
v(y + 1) = (Vy) n - 
En mettant ici successivement y -1— 1, y -f- 2, etc. à la place de y, on aura 
V>(y + 2) = (y(y + 1))" = (yy)" 2