Or on peut supposer m<a, car le problème peut toujours être ramené à ce 
cas. On aura donc lorsque a est un nombre impair, (voyez Euleri Cale, integr. 
pag. 49, r>0). 
f^k dx = \ Xo ^ x -^+log|/(l-2*cos — + *’) 
*> éC a ~0 • *2hnK , 
v sin . arc tang 
x . sin 
2A-TT 
1-x .cos 
2/îtc 
Si l’on pose cette expression égale à — log (x—1) -j- P, on aura 
/ - . x^dx-P- — log— î-, et en intégrant entre les limites x=Q et^*=l, 
y *l r m 1 1 
—. x^'dx = P"—P' — — log ci. 
o x a —1 a ° 
On voit aisément que P'— 0, et qu’on ait 
^=-A«« —log(*-* cos "*)—sin^ïL.arctg 
a a . a / a a & 
2 kx 
1-cos 
2 kiz 
Il s’ensuit donc, lorsque a est impair 
K 1 + v)=^— l0SB +f‘ )cos ^ Llog ( 2 - 2cos? r) 
o 2Z-mTC , 
— 2 21 k sin - a - • arc tang 
( 
s l 'U- ( 
(D) 
1 -cos 
a — 1 donne Z(2) = l; « = 3 et ?rc = l donne 
¿(1 -j-.t ) — 3 — log3 -f- cos ~. log (2 — 2 cos — 2 sin ^. arc tg 
2tt 
1-cos 
2tü 
or cos^-=—1-, sin-^-r=^®, donc Z/(l + -j)=3 — § log3 ~ y(3) 
a=3 et «î=2 donne ¿(1 + •§) = § — | log 3-}- j/" 1 (3). 
La formule (D) a seulement lieu, lorsque a est impair. 
Lorsque a est pair, on aura: 
¿(1 4- logo+loga+^cos-^ÎS.log (2—2cos™) 
r» • 2 krme . 
— 2 211- sin arc tang 
sin 
2/i'tc 
« 
m 2hz 
(E)