On a donc l’équation suivante en z 
- X '-f V ydx=s'.z+s- i .^+s' ï .^. + ... + s’ m .-£ t L (5) 
Supposons maintenant qu’on connaît l’intégrale complète de l’équation difte- 
rentielle qui détermine la fonction y, et soit 
y— c iVi++ • • + ( '™y™ 
cette intégrale. On trouvera alors, comme on voit sans peine, 
z =y' JPida+ÿJPifa+ÿ Jvd la + • • • + ÿJPmda, 
où y'p est la même fonction de a que y a l’est de æ, et p x , ... des fonctions 
rationnelles de y' , y' , ÿ^ ... et de leurs différentielles, et des fonctions entières 
de 1' + f^ydx de la forme 
K • (i'+f?y dj; ) 
ir 
On a donc: 
J*y (lx __ ^ fda^xW+fçydx) _j_ y , J* da^j^+fçydx) y' m J* da ^ m (t + f?y ds ) m (6) 
Quant aux quantités 0 19 0 2 , etc. on peut remarquer qu’elles sont détermi 
nées par les équations suivantes: 
0 = y\ • e x+y\ • e %+ÿ z • e * + * • • + y'— 6 ’ 
A + 
d‘ L % 
d m z 
0 d y i n _L_ d y'i n i d y\ ü \ d y'~ 
ÎU .0 4- 
da 1 da 
da 
° = 4^‘+4^+4^+-'-+^ e - 
(7) 
da 1 
Les quantités 0 2 , 6 3 .. . sont donc des fonctions de « seul. Pour ap 
pliquer ce qui précède, supposons m = 1 et m—2. 
I. Si m = l, on aura 
— i=y,A> douc v"> 
1 
de même 
x — s i ty=-^-, X'=X en supposant * o = 0, 
= *i*y= v '~ 
donc l’équation (6) deviendra 
=-y\ f da Gr-â +■/»* )