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Soit par exemple a x z=a, on a 
y n = (a x — a + z) H = (a x —a) n + n{a x — a)"- l .z + ... = z n +n(a x — a)z n - l -\-... 
donc 
ô r \<fx = (a x — a) n .yx -f-n{a x — a)*- 1 , dtpx + (a x — a)’ 1 " 2 . â 2 (px + .. . 
m 
d n 1 cpx= ô n cpx + n(a x — a)d n ^(px -j- (a x — a)*.d n ~ 2 (px -f-... 
En faisant a x =0, on aura d n x <px — (p(x-]-nu), donc 
(p{x-\-na) — d n cpx—na.d n ~ 1 cpx -f- —cPd n ~*(px — ... 
2 
si a— — 1, on aura 
(p(x-\-ncc) = J tt n (px-j-n J^~ x (px -f- J C( n ~*(px + • • • 
m 
Problème III. Soit ôcpx — ç>(.r-|-a) — cupx et ôjtpx = c(px -j- k^L 
dx 
et proposons nous de déterminer à™ par â. 
On a Dâ x (px—(c-\-kv) .fv, 
donc Dd n 1 cpx=(c-\-kv) n .fv; 
or Dd(px = e va — a ; 
il faut donc développer (e-{-kv) n .fv suivant les puissances de e VK — a. 
Soit c-\-kv = y, e VCi — a=z, on aura 
w = -i-log(z+a), y=c + ~\o^(z+a). 
^ CL 
y = 
1^1 I k / s 1 , Z 3 
c 4-—- log a 4- —( i. f- 4- —- 
i a ° ' a V « 2 a* a* 
-•) 
y n — 
~c4-—102«4-— (— — — 4- 1 —— 
a ° ' a V a ^ a 2 a* 
...)]” =2A M .z~ 
donc 
â n 1 cpx = £'A m â m (px. 
Soit c=0, 
a=l, k — 1, on aura ô”(px— ^ ; 
•loue -^L = 2A m .J, ! “< t x, 
où 2A n z~ = -L (*— 
en faisant n=î, on aura 
= ~ ( J <f x ~ s zl'-yx + ^ A*q>x — ...) 
Problème IV. Développer la fonction (p(x-}-a) en termes de la forme 
d n q{x+n$) 
' dx n 
Tome second. 
Il