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II 
Problème V. Développer ¿/ n v cpx suivant les puissances de n. 
On a Ü/J c f(px = {e vtt — 1) M .fv ; 
donc DJ c ?(px=fv -f-wlog (e va — 1) (log(e wff — l)) 2 • ) 3 
d’où l’on tire en prenant la fonction génératrice 
J (c n (px=<px -f nfg(\o%(e va — 1). fv) + ~ fy[(\og(e vti — 1 ))*fv] +... 
Soit fg( log(e vc< — 1) .fv) = âcpx, 
on aura 
— d n cpx-, 
donc z/ a n (px=.(px-]-ndq)X -f- . ô 2 cpx -f- —— .ô*cpx -jr ... 
2 2*3 
Pour déterminer âqx il faut développer la quantité log (e vct —1). 
On a log(e wiï —l) = log(e WK (l — e~ va )) 
-Va- 
1 s>-2va 
1 p-Zvu 
'5 e 
donc 
d(fx=a . — (p(x — a) — !.(p(x—2a) — \<f(x—3a)—%(p(x—4a) — ... 
En différentiant cette expression par rapport à a, on aura: 
d(â(px) — da + <p’(.r — a) -{- cp'(x—2a) -|- cp’(x—3a) -[“•••) 
Soit 
fpx -f- <f{x — a) + <p(x—2a) -f- • • • = â t q:x, 
on aura 
D(px -f- Dcp(x — a) -f- Dip(x— 2a) 
donc 
(l + e-"+<r*” + ...)f B = i 
donc 
Dd^px = e -^£L = (1 + 
donc 
â^tpx = cpx -j- <d c ~ x (px\ 
donc 
â 1 (p>x = cp'x -f- J- X tp'x ; 
donc 
= <f'x + Z a (p'x, 
et 
dqx = a. <p'x -j- J'da^q'x. 
DâjÇpx; 
Si l’on veut exprimer âcpx par t —^~, il faut développer log (<e va —1) sui 
vant les puissances de v. On aura: 
e VK — l=va-j- 
v^a. 
v à tx* 
2 2.3 
+ ...