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Zwölftes Capitel. 
Von den recurrenten Reihen. 
§. 1. Allgemeine Betrachtungen über die recurrenten Reihen. 
Eine nach den aufsteigenden (ganzen) Potenzen von x 
geordnete Reihe 
(1) a 0 , ajX, a 2 x 2 , a n x n , etc 
heißt eine récurrente Reihe, wenn, von einem bestimmten 
Gliede an, der Coefficient irgend einer Potenz der Veränderlichen 
durch eine lineare Function der Coefsicienten einer bestimmten 
Anzahl von niedrigeren Potenzen ausgedrückt wird, so daß man 
also nur diese Coefsicienten zu kennen braucht, um aus ihnen 
den gefuchten abzuleiten. So ist z. B. die Reihe 
(1) 1, 2x, 3x~ (n-|-l)x n , etc..., 
recurrent, indem man, wenn man 
an = n -j- 1 
setzt, beständig für Werthe von n, welche größer als die Ein 
heit sind, 
( 3 ) a n = ? a n _i a n _2 
hat. Im Allgemeinen wird die Reihe (1) recurrent sein, wenn 
die Coefsicienten mehrerer auf einander folgender Potenzen von x 
a n, a n _i, a n —2, - . - - , a n _ m , 
für alle Werthe von n, welche eine gewisse Grenze übersteigen, 
durch eine Gleichung vom ersten Grade mit einander verbunden 
sind. Es sei 
( 4 ) Ir an—m Hh I a n—m-M 4* • • • + P a n—1 + q a n = 0 
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