Dritte Note. 
Von der Auflösung numerischer Gleichungen. 
Eine oder mehrere numerische Gleichungen auflösen, 
heißt: die Werthe der in denselben vorkommenden Unbekannten 
in Zahlen finden. Numerisch aber heißt eine Gleichung, wenn 
die darin vorkommenden Constanten Zahlen sind. Wir wollen 
uns hier nur mit solchen Gleichungen beschäftigen, welche eine 
einzige Unbekannte enthalten, und wollen zuvörderst in Beziehung 
auf diese folgende Sätze aufstellen. 
Lehrsatz 1. Es sei f (x) eine reeble Function 
von x, welche in Beziehung auf x zwischen den 
Grenzen x=x 0) x —X stetig ist. Haben nun die 
beiden Größen f (x 0 ), f (X) entgegengesetzte Zei 
chen, so kann man der Gleichung 
(1) f(x) = 0 
durch einen oder durch mehrere zwischen x 0 und X 
liegende Werthe Genüge leisten. 
Beweis. Es sei x 0 die kleinste von den beiden Größen 
Xq und X, und 
ferner sei m irgend eine ganze Zahl, welche aber größer als 
1 ist. Da nun eine von den beiden Größen f (x 0 ), f (X) 
positiv, die andere dagegen negativ ist, so muß die Reihe 
+ f(*o + ~) ,k(x-^), f (X) 
von der Art sein, daß man, bei einer successiven Vergleichung 
des ersten Gliedes mit dem zweiten, des zweiten mit dem drit 
ten, des dritten mit dem vierten rc., zuletzt einmal oder öfter