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Sechste Note. 
Von den sigurirten Zahlen. 
Figurirte Zahlen von der ersten, zweiten, dritten 
Ordnung etc , nennt man diejenigen Zahlen, welche die 
Koefficienten der auf einander folgenden Potenzen von x in der 
Entwickelung der Ausdrücke 
(lH-x)-2, (l-j-x)-b, (l_j_ x )-4, etc.... 
bilden. Diese Erklärung gibt uns ein Mittel an die Hand, sie 
zu berechnen. Es ist (Cap. 6, §. 4.) gezeigt worden, daß für 
beliebige reelle Werthe von {.i und für Zahlenw. x < 1 
(1) (1 + x)^ = 
1.2 X +w+ 1.2.3~7Tn x + etc - 
ist. Setzt man in Gleich. (1), f.i= — (m + 1), wo m eine 
beliebige Zahl bedeutet, so findet man 
(2) (l-j-x)- ra -i =2 
. (m+l)„ , (m+l)(m+2)„ 2 . (m + l)(m+2)...(m+n) n 
_ ~i~ x+ —17>— x '~" - 1.2.3TTn x 
+ etc. 
Da nun aber offenbar 
(3) 
1.2.3...in(m-i-1)...(rn-j-n) 
1.2,3...« ~ (1.2.3...in).(1.2.3...«) 
(n+l) (n+2)...(n-{-m) 
~ 1.2.3...m 
ist, so kann die Gleichung (2) auch folgendergestalt geschrieben 
werden: