120 DI 1. F. Enriques. Principes de la métrique générale, 
la forme 
ds 2 — ~l 1~ . 
i + + f «„*) 
La géomârie métrique différentielle d’une variété v z à courbure 
constante k équivaut pour k — 0 à la géométrie parabolique dans une 
région de l’espace ordinaire euclidien; pour 1c < 0, elle équivaut à la 
géométrie hyperbolique dans une région de l’espace ordinaire euclidien; 
pour le > 0 elle équivaut à la géométrie elliptique dans une région de 
l’espace ordinaire euclidien. 
Dans cet ordre d’idées, JB. liiemann a tout d’abord attiré l’atten 
tion sur le cas où kj>0, cas qui est celui de la géométrie elliptique. 
L’aiïirmation de JJ. liiemann relative à la forme à laquelle on peut 
ramener l’expression du carré ds 2 de l’élément linéaire ds d’une variété 
à courbure constante h a été vérifiée 368 ) par E. B. Christoffel 369 ) et par 
B. Lipschitz 37 °). 
S. Lie S71 ) a démontré comme conséquence d’un de ses théorèmes 
sur les groupes continus que toute variété métrique v n a nécessairement 
une courbure constante, quand il est possible de la faire mouvoir sur 
elle-même de façon à transformer en général un élément linéaire issu d’un 
point de la variété fixé arbitrairement en un autre élément arbitraire 
issu du même point. Sous ces hypothèses le groupe de mouvements 
de v n renferme \n{n 1) paramètres, c’est-à-dire le plus grand nombre 
possible de paramètres. 
Ces recherches de S. Lie simplifient les conditions d’homogénéité 
d’une variété v n établies par B. Biemann. 
3b. Caractère projectif des variétés à courbure constante. 
E. Beltrami 2 " 2 ) et L. Schlàfli 373 ) ont étudié le caractère projectif des 
variétés à courbure constante. 
E. Beltrami a montré que, dans une variété à courbure constante, 
on peut, par un choix convenable du système de coordonnées, repré 
senter les lignes géodésiques par des équations du premier degré. 
Il en résulte que la géométrie projective s’applique, au sens dif 
férentiel, aux variétés à courbure constante quand on envisage dans 
ces variétés les lignes géodésiques comme des droites. 
368) Cf. L. Bianchi, Atti R. Accad. Lincei Bendic. mat. (5) 7 II (1898), p. 147. 
369) J. reine angew. Math. 70 (1869), p. 46, 241. 
370) J. reine angew. Math. 70 (1869), p. 71; 72 (1870), p. 1. 
371) Cf. S. Lie et F. Engel, Transformationsgruppen 9S ) 3, p. 353/5. 
372) Ann. mat. pura appi. (2) 2 (1868/9), p. 232; Opere 1, Milan 1902, p. 406. 
373) Ann. mat. pura appi. (2) 5 (1871/3), p. 178/93.