Paradoxien im Begriffe des Raumes. 
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fernung der Punkte a und ß gleicht: so muß auch die Menge 
der Punkte zwischen a und b der Menge der Punkte zwischen 
a und ß gleich angenommen werden. 
5. Ausdehnungen, die eine gleiche Menge von Punkten 
haben, sind auch von gleicher Größe, nicht aber umgekehrt 
müssen zwei Ausdehnungen, welche von gleicher Größe 
sind, auch gleichviel Punkte haben. 
6. Bei einem Paar Raumdingen, welche einander voll 
kommen ähnlich sind, müssen sich auch die Mengen ihrer 
Punkte genau wie ihre Größen verhalten. 
7. Ist also das Größenverhältnis zwischen zwei einander 
vollkommen ähnlichen Rauradingen ein irrationales: ist auch 
das Verhältnis zwischen den Mengen ihrer Punkte irrational. 
Es gibt also Mengen (nämlich unendliche nur), deren 
Verhältnis in jeder beliebigen Art irrational ist. 
§ 42. 
Unter diesen Sätzen, deren Anzahl (wie man sieht) leicht 
vermehrt werden könnte, hat meines Wissens der sechste 
allein in den Schriften der Mathematiker schon bisher eine 
Beachtung gefunden; jedoch nur in der Art, daß man im 
Widerstreite mit ihm den Satz aufstellte, ähnliche Linien 
müßten, wie verschieden sie auch in ihrer Größe 
wären, doch eine gleiche Menge von Punkten be 
sitzen. Solches behauptete Dr. J. K. Fischer (Grundriß 
der gesamten höheren Mathematik. Leipzig, 1809. Bd. II. 
§ 51, Anm.) namentlich von ähnlichen und konzentrischen 
Kreisbögen, aus dem beigefügten Grunde, weil sich durch 
jeden Punkt des einen ein Halbmesser ziehen ließe, der 
einem Punkte des anderen begegnet. Bekanntlich aber hat 
schon Aristoteles sich mit dieser Paradoxie beschäftigt. 
Fischers Schlußweise verrät offenbar die Meinung, daß ein 
Paar Mengen, wenn sie auch unendlich sind, einander gleich 
sein müssen, sobald nur jeder Teil der einen mit einem 
der anderen zu einem Paare verknüpft werden kann. Nach 
Aufdeckung dieses Irrtums bedarf es keiner weiteren Wider- 
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