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Paradoxien bei räumlichen Ausdehnungen.
doch eine unendliche Größe besitzen; oder endlich, daß he.
manche räumliche Ausdehnung eine endliche Größe behält. hä
ob sie gleich unendlich viele Umgänge um einen bir
Punkt herum macht.
i. Wir müssen hier vor allem unterscheiden, ob unter die
der räumlichen Ausdehnung, von welcher hier gesprochen Br
wird, ein aus mehreren voneinander getrennten Teilen un
bestehendes Ganze (dergleichen z. B. die mit vier Zweigen als
versehene Plyperbel ist), oder nur ein durchaus zusam- sic
menhängendes Ganze, d. h, nur eine solche Ausdeh- un
nung verstanden werden soll,' die keinen einzigen, selbst un
noch eine Ausdehnung darstellenden Teil hat, an dem nicht
wenigstens ein Punkt vorhanden wäre, der, zu den übrigen
Teilen gerechnet, mit ihnen abermals ein Ausgedehntes mi
Daß eine Ausdehnung, die aus getrennten Teilen be
steht, durch einen unendlichen Raum sich ausbreiten könne,
ohne darum schon unendlich groß zu sein, wird niemand
anstößig finden, der daran denkt, daß auch eine unendliche
Reihe von Größen, wenn sie im geometrischen Verhältnisse
abnehmen, eine bloß endliche Summe darbietet. In diesem
Sinne also kann allerdings auch eine Linie sich ins Un
endliche verbreiten, und doch nur endlich sein, wie gleich
diejenige, welche zum Vorschein kommt, wenn wir aus oo
einem gegebenen Punkte a in gegebener Richtung aR eine
begrenzte Gerade ah auftragen, dann aber in einem sich ^
immer gleichbleibenden Abstande eine Gerade cd, welche gj]
nur halb so groß als die vorige ist, auftragen, und nach de
demselben Gesetze in das Unendliche fortfahren.
Sprechen wir aber — und das soll in dem nun Folgen- e11
den immer geschehen — nur von solchen räumlichen Aus- ^
dehnungen, die ein zusammenhängendes Ganzes ge- de
währen: so ist wohl einleuchtend, daß unter den Ausdeh- St
nungen der niedrigsten Art, d. h. den Linien, keine
zu finden sein könne, die sich in das Unendliche erstreckt,
ohne zugleich eine unendliche Größe (Länge) zu haben.
Denn so ergibt es sich ja schon mit Notwendigkeit aus der ki
