Fiktionen in der Mathematik
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reellen Zahlen hinauslaufen; diese sind vorher widerspruchs
frei zu begründen. Diese Auffassung finden wir bei Pasch
und vielen anderen.
N a t o r p findet an dieser Ableitung der komplexen Zahlen
aus den extensiven Größen unbefriedigend, daß die Fest
setzung i 2 — — 1 vollständig willkürlich erscheine; man sehe
nicht ein, wie das Quadrat der imaginären Einheit reell und
außerdem gerade = — 1 sein soll. Er will eine Begründung
der komplexen Zahlen geben, die in rein logischer Form aus
dem voll erfaßten Begriff der Zahl hervorgehe.
4. Nach Natorp ist die Beziehung der Position oder
der Ordnung des Vor und Nach das letzte Gattungsmerkmal
der Zahl, das aller Maßbedeutung logisch vorangeht; sein
mathematischer Ausdruck ist das Plus und Minus, das eine
immer gleiche Art der Relation von Glied zu Glied der Urreihe,
nämlich die eines Grundgliedes zu einem Gegenglied aus
drückt, Diese Positionsbeziehung ist für die Grundreihe einzig,
wir können sie am einfachsten mit Hilfe des Minuszeichens
darstellen, indem wir (—)° als den Ausgangssinn nehmen und
mit allen geraden Potenzen (—) 2 , (—) 4 usw. denselben, mit
den ungeraden Potenzen dieses Zeichens (—)*, (—) 3 usw. aber
den Gegensinn bezeichnen. Dann bedeutet Vermehrung des
Exponenten um eine Einheit jedesmal das Hervorgehen des
(relativen) Gegensinns aus dem vorherigen (relativen) Gruud-
sinn. Diese Vorzeichenbeziehungen gelten ohne jede Rück
sicht auf die mit Vorzeichen zu versehenden Wertbeträge in
allen metrischen und Stellbeziehungen.
Diese Darstellung erfordert zugleich eine allgemeinere Auf
fassung der Produktbildung; diese hat nicht mehr nur die Be
deutung der Vervielfältigung eines Wertbetrags,
da man nicht bloß numerische Werte, sondern relative Zahlen
multipliziert; eine bestimmte Änderung kann selbst wieder
einer ihr gleichsinnigen Änderung unterworfen werden 440 ).
Natorp meint nun, es müsse als logisch unbefriedigend
empfunden werden, daß diese neue Art der Änderung durch
aus nur unstetig, sprungweise, sollte geschehen können. Das
