lethode der kleinsten).
Quadrate (Methode der kleinsten). 17 Quadrate (Methode der kleinsten).
Mathematik, Astronomie
den verschiedenen prak-
ngen dergleichen Beob-
i Wägen, Messen u. s.w.
ieser Beobachtungen aber
ichiedenen Ursachen her-
er enthält, so wird auch
ein mehr oder minder
anklehen. Bestimmte
on stauten durch nur so-
ngen, als um ilie erfor-
inngen zu haben nöthig
n gewisse Beobachtungen
tzte sie durch eben so
bestimmte aus diesen die
würden in der Regel von
ehr oder minder abwei-
;e sich ergehen, und man
;lches Resultat dem andern
re.
; sich also, gleich alle
bachtungen, so viel auch
benutzen, und aus diesen
so zu bestimmen, dass
r sich daraus ergibt, ge-
stzen der Wahrscheinlich
klein sei. Der Zweck
ler kleinsten Quadrate ist
reichen, und sie ist also
Klung der Wahrscheinlich-
auf die angewandte Ma
itrachten.
c... u, v, w ...) eine be-
i der Variablen u, v, w und
lonstanten vor, deren Zah-
?h Beobachtungen zu be-
Man braucht dazu die
so vieler specieller Fälle
b, c ... vorhanden sind,
dieser Fälle, u i ,v l ,w i ...
r Variablen u, v, w, C der
c, bf c . •. u j, v w , • • .),
urch die Beobachtung er-
, wenn die letztere voll-
i wäre,
F—C\
nicht der Fall ist, so
F—C—x
; den Beobachtungsfehler,
deiner, je besser die ge-
rumentc und je getvandter
r ist.
jetzt gemäss den Gesetzen
inlichkeitsrechnung zu he
gross die Wahrscheinlich-
s ein gegebener Fehler x
mme.
ht Gauss folgende Schlüsse,
iste Fall unserer Aufgabe
n wahrscheinlichen Werth
'u) durch verschiedene Bc-
u=C L , u = C 2
obachtungen zu bestimmen, die nicht </(«) soll der Ausdruck für die Wahr
völlig gleiches Resultat geben. Seien scheinlichkeit des Vorkommens eines ge-
die Beobachtuugswerthe: gebenen Fehlers x sein, also die zu be-
u — £ stimmende Grösse. Nach einem Satze
der Wahrscheinlichkeitsrechnung (siehe
so ist es ein allgemein angenommener Artikel Wahrscheinlichkeitsrechnung) wird
Grundsatz, dass die arithmetische Mitte: nun ¿je Wahrscheinlichkeit des gleich-
C _j_C . . . 4-C m zeitigen Vorkommens mehrerer von ein-
ander unabhängiger Ereignisse durch das
Produkt der Wahrscheinlichkeiten des
der wahrscheinlichste Werth von u sei. Vorkommens jedes einzelnen gegeben,
Von diesem Grundsätze ausgehend, ge- un d es ist somit
lingt es Gauss, die Wahrscheinlichkeit W = a (x J <f (xj ... q (x„)
eines gegebenen Fehlers im allgemeinen
Falle zu ermitteln. der Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit,
Es s j nt p dass die Fehler x L , x 2 . . . x n gleichzei-
,, n _ tig verkommen. Setzt man also hier
u-C v -x„ u-C i =x i .. . u-in-xn hier in w für ^ ^ ... ihre wahr-
die Beobachtungsfehler bei der Bestim- scheinlichsten Werthe, so Avird W ein
mung von m, der Avahrscheinlichste Werth Maximum, d. h.:
von u aber ist:
f— ^ ‘ • ~f~ Cn
also auch die wahrscheinlichsten Werthe
der Fehler :
x v ~f—C v , x 2 = /'— C 2 , . . . x n =f—C n
W—<f (f—Ci)
und da für diesen Fall
dW
dvtf-CJ
+
d'Kf-
wird, so ist
-c 2 )
df
= 0
-+
+-
.. .. <( (f-Cn)
— Maximum
df
vif-Ci) df • </(f-C 2 ) df <f{f-Cn)
Da diese Gleichung richtig sein muss, welches auch die beobachteten Werthe
von u seien, so setzen Avir n—1 derselben unter einander gleich, also:
C., = C\ = C L ... -C =u
und es wird ;
1 d., {f-C l )_ («-1) d,,{f-C)
vtf-CJ df <,(f-C) df ;
es war aber:
f = — (C l + C 2 + . . . + C n ) — — (C t + (n—1)C)
Wir setzen diese Werthe in die vorige Gleichung, indem wir noch
1
if (A) dl
setzen, also:
*-1) (C-C,)] = -
oder, wenn man
C v -C-B
setzt, und durch (1 — n)B dividirt
V'[(l-ft) B] _ VC*)
I) (1 -n)B B * ,
-(«-!) V[-(C-C.)]
da aber
ip(-B)_ ip(n- 1)B
—B ~ {n-l)B
ist, so folgt, Avenn man n—l = s setzt,
aus dieser Gleichung in Verbindung mit
n ist zunächst eine beliebige ganze G.i e i c h un g p :
Zahl. Es lässt sich aber leicht zeigen,
dass sie eine ganz willkürliche reelle Zahl
sein kann.
Denn setzt man zunächst n — 2, so
kommt;
tf{B)=-xf(-B),
also
*/'(-#) „ V* B
-B B 5
HB)
B
if(sB)_ if(-sB)
II) B ~ sB -sB
d. h. s kann auch eine negative ganze
y
Zahl sein. — Es
sei nun B-—, so ist,
t’
Avenn man in II) B — ~,s — t setzt:
