t. Form (Zahlenlehre). 
Quadrat, Form (Zahlenlehre), 63 Quadrat. Form (Zahlenlehre). 
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ixXny) + c(ny)‘] s 
i den Formen alle x und y, 
ider relativ einfach sind, und 
;s zu D sind, vor. Sei näm- 
;rösste gemeinschaftliche Fac- 
id y,, oder x, = nx, y, = ny, so 
nen Factor mit 2D gemein 
ihn sonst die ganze Form 
te. x und y haben also kei- 
ichaftlichen Factor mehr. 
so oft vor, als es sich in 
zerlegen lässt. Dabei wird 
positiv, bald negativ. 
c der Ueberschuss der An- 
ctoren n von r, für welche 
iher Rest ist, über die, wo 
ist, so erhält man 22 
ié) 
ixy+c t y*) s ~T~ ' ‘ ' 
als r durch die Formen: 
c i 2/* 
e beiden Reihen links und 
welche einem bestimmten 
a, ß, y . . . und bezüglich 
i, so kann man immer «' 
n Falle die Bezeichnung von 
Setzt man nun 
s = cc, 
so wird A'— 0, was nicht möglich ist. 
Jedenfalls also hat man o! — n, und da 
her für s = co auch: 
A' = A ; 
ebenso ergibt sich 
ß' = B, C'-C . . . 
1 
Der Coefficient von —- links ist nun 
r 
2k, und rechts stellt er die Anzahl der 
Darstellungen von r durch die Formen 
ax 2 +2bxy-\-cy 2 , a l x 2 +2b l xy+c l y 2 ... 
vor, ohne Rücksicht darauf, oh x und y 
relativ vielfach sind oder nicht und man 
hat folgenden Satz: 
„Ist r irgend eine positive Zahl, die 
keinen gemeinschaftlichen Factor mit 20 
hat, so bestimmt man, wieviel Primfac- 
toren von r das D zum quadratischen Reste 
und wieviel D zum Nichtreste machen 
(den Factor 1 eingeschlossen); der dop 
pelte Ueberschuss k der ersten Zahl über 
die zweite gibt dann an, wie oft r durch 
eine quadratische Form mit Determinante 
D = — A darstellbar ist. Nur für 0= —1 
ist der vierfache Ueberschuss zu nehmen.“ 
Beispiel. 187 = 17 • 11 • 1; 1 und 17 ma 
chen 13 zum quadratischen Reste, 11 
nicht, also k—2—1 = 1, und 187 lässt 
sich 2 mal durch eine Form mit der 
Determinante 13 darstellen. 
20) Ist in der That D~— 1, so sind 
die Factoren von r, welche ü zum qua 
dratischen Reste machen, von der Form 
4/t+l, die andern von der Form 4&-+-3. 
Die entsprechende reducirte Form war 
die Summe zweier Quadrate. Für eine 
Primzahl von der Form 4A + 1 ist k — 2, 
da 1 auch von der Form 4/i + l ist; für 
eine Primzahl von der Form 4A+3 ist 
k = 0, also: 
Jede Primzahl von der Form 
4/i-fl ist eine Summe von 2 Qua 
draten p 2 -f-(/ 2 , sie lässt sich also 
auch auf die Form (/>+</*) {p — qi) 
bringen. Sie ist mithin, wenn 
man p qi als complexe ganze 
Zahl betrachtet, keine complexe 
Primzahl. Dagegen lässt sich 
eine Primzahl von der Form 
4/i-h3 nie als Summe Q von Qua 
draten aus d rück en, und ist daher 
auch eine complexe Primzahl. 
Wir haben bewiesen, dass in unsern 
Summen auch die einzelnen Glieder 
in ihren Cocfficienten übereinstimmen. 
Man kann also auch statt —— oder 
r* 
1 
——- eine beliebige Function von r 
(MMj) 
multiplicirt mit dem entprechenden Coef- 
ficientcn in die Summen setzen. D. h. 
es ist: 
2l{^^y(nn l )~2</(ax 2 +2bxy+cy 2 )+2if(a l x 2 +2b l xy+c l y 2 )+ . . ., 
wo (f eine beliebige Function ist. Sei z. B.; 
so kommt; 
2 
/ \ v 
'/(«)= ? 
(2^q nn i~ lq ax ' ) + 2bxy + cy 2 J ^^ ( a i x 2 +2b i xy-\-c i y ^ 
wo statt der 2 links 4 zu setzen ist, wenn 
D — — 1 ist. Es ist aber: 
n — 1 
(siehe den Artikel: quadratischer Rest) 
und die Formen rechts reduciren sich 
auf die eine x 2 +y l , also: 
n—1 
2 nn. 
4A( —1) q ' 
= ¿q 
x 2 +y 2 
Die durch x 2 -f y 2 darzustellende Zahl 
sollte ungrade sein. Setzt man, um dem 
zu genügen, also für x alle graden, für 
y alle ungraden Zahlen, und dann um 
gekehrt für y alle graden und x alle 
ungraden Zahlen, welches letztere das 
selbe ist, als ob die durch das erste 
Verfahren entstehende Summe verdop 
pelt würde, führt man dies auch für die 
negativen Zahlen aus, so wird hierdurch 
eben nur der aus den positiven Zahlen 
entstehende Theil vervierfacht, weil x 
oder y einzeln und auch beide gleich 
zeitig negativ genommen werden müssen, 
mit Ausnahme der Glieder, die y = 0 
entsprechen, und welche nur verdoppelt 
werden. Es ist dann, wie leicht zu sehen: 
.) (l+2 i 2 +2ry 42 +2 ? 62 + . .).