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I. Häufungswerte und Grenzwerte 
§ 3. Zahlenfolgen und ihre Häufungswerte. 
Die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, . .. bieten das einfachste Beispiel 
einerZahlenfolge oder, kürzer gesagt, einer Folge. Jede andere Zahlen 
folge entsteht hieraus, indem man sich die Glieder irgendwie abge 
ändert, also 1 durch eine Zahl u x , 2 durch eine Zahl m 2 , 3 durch eine 
Zahl u H und jedes n durch eine Zahl u n ersetzt denkt. Eine Zahlen 
folge hat also folgendes Aussehen 
U 11 U 2 - u 3r - - 
Die Punkte deuten an, daß die Folge ins Unendliche weitergeht. Es gibt 
in ihr kein letztes Glied, gerade so, wie es unter den natürlichen Zahlen 
keine größte gibt. 
Man kann natürlich niemals alle Glieder einer Zahlenfolge auf 
schreiben. Sie ist immer nur durch ein Gesetz bestimmt, das vorschreibt, 
welche Zahl u n an der -r-ten Stelle stehen soll. Bei der Zahlenfolge 
i. -1/2, ys, ~yi,... 
lautet dieses Gesetz: An der -r-ten Stelle soll + ]/« stehen, und zwar 
-\-Vn. Wenn n ungerade, — ]/n, wenn n gerade ist. 
Wenn die Differenzen w 2 — w,, — u a , w 4 — « 3 , ... alle gleich 
sind, so heißt Mj, m 2 , Uz, .. . eine arithmetische Folge. Bon einer 
geometrischen Folge spricht man, wenn die Quotienten u a /u t , « 3 /%, 
uju s , . . . alle gleich sind Eine arithmetische Folge sieht hiernach so 
(i, (i d! fi -f- 2 d f Q- -}•* 3 d f . . . j 
das n-te Glied oder, wie man auch sagt, das allgemeine Glied 
lautet a -f (« — IV. Eine geometrische Folge sieht so ans: 
a, n • q, a • <f, a • ? 9 , . . .; 
das allgemeine Glied lautet a • q n ~ x . 
Die arithmetische und die geonretrische Folge werden schon in der Ele 
mentarmathematik betrachtet. Man lernt dort, was wir hier nebenbei 
besprechen wollen, einen Abschnitt einer solchen Folge summieren. 
Ist u 1 , w 3 , w 3 , ... eine arithmetische Folge, so schreibt man u x -f- v 2 
-j- ■ ■ • -f einmal in der Form 
% *f (wj H“ d) + (% + 2 d) -f- • • • -f (w 4 n — 1 d), ^ 
ein zweites Mal in der Form 
% + ( u n ~ d ) + 0„~ 2<*) + ••• -h (w a — -r — Ich.