Zahlenfolgen und ihre Häufungswerte 
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te. 
e Beispiel 
eeZahlen- 
wie abge- 
durch eine 
e Zahlen- 
t. Es gibt 
en Zahlen 
folge auf- 
orschreibt, 
ahlenfolge 
und zwar 
alle gleich 
Von einer 
h' 
lientocf» so 
iic Glied 
§: 
n der Ele- 
c nebenbei 
nieren. 
IN i! x + No 
'd), . 
(1). 
Dann ergibt sich durch Addition für die doppelte Summe der Ausdruck 
n (mj + %), so daß 
n(u t + u n ) 
«1 + % 4 + »n ^ 
ist, d. h. gleich dem -r-fachen arithmetischen Mittel aus dem ersten 
Gliede u x und dem letzten Gliede u n . 
Wie die entsprechende Aufgabe bei einer geometrischen Folge be 
handelt wird, ist dem Leser gewiß auch bekannt. Aus 
+ + [-«• q n ~ 1 
folgt qS «= a • q + a • q 2 + • • • -f « • « • i”, 
und durch Subtraktion ergibt sich weiter 
- — a, 
also, wenn nicht q =- 1 ist, £ -- ‘ 
Im Falle a --- 1 lautet diese Formel 
(«) i+} + ! , +"- + r‘-jEr ■ 
In § 2 haben wir gesehen, daß mau jede Zahl durch einen Punkt auf 
einer Geraden, der Zahlenlinie, versinnlichen kann. Liegt nun eine 
Zahlenfolge w lf u 2 , w 3 , ... vor, so entspricht jedem u n ein Punkt P M 
auf der Zahlenlinie, und der Zahlenfolge entspricht also eine P n n k t f o l g e 
auf der Zahlenlinie. Umgekehrt gehört zu jeder solchen Punktfolge 
P lf P 8 , P 8 , ... eine Zahlenfolge. Um sie zu erhalten, muß man sich 
jeden Punkt P„ durch seine Abszisse u n ersetzt denken. Dabei verwandelt 
sich die Punktfolge Pi, P„, P s , ...in die Zahlenfolge^, u 3l u a ,.... Es 
ist hiernach ein und dasselbe, ob man sich mit den Zahlenfolgen be 
schäftigt oder mit den Punktfolgen auf der Zahlenlinie. 
Wir kommen jetzt zu einem wichtigen Begriff, den wir geometrisch, 
d. h. bei den Punktfolgen, erklären wollen, damit er dem Leser mög 
lichst klar wird. 
Pi, Pz, Pz, ...sei eine Punktfolge und H ein Punkt auf der Zahlenlinie. 
Dann heißt Q eine Häufungsstelle der Puuktfolge Pj, P s , P 3 ,..., wenn 
in jeder Umgebung von H unendlich viele Glieder dieser Folge enthalten 
sind. Das hat folgenden Sinn: Konstruieren *■ 
wir (Fig. 4) um Q als Mitte ein Intervall fp—H 
itnb unterdrücken in der Punktfolge