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I. Häufungswerte und Grenzwerte 
Der Leser stelle sich die zugehörige Punktfolge auf der Zahlenlinie vor. ; 
Da es sich um eine beschränkte Zahlenfolge handelt, so läßt sich auf 
der Zahlenlinie eine Strecke abgrenzen, die die sämtlichen Punkte jener 
Punktfolge enthält. Diese unendlich vielen Punkte müssen hier auf einem 
endlichen Raume Platz finden. Da ist es klar, das irgendwo an einer 
Stelle Q ein großes Gedränge herrschen muß, so groß, daß in jeder 
Umgebung von Q unendlichviele Punkte der Folge vorhanden sind. 
Damit ist die Existenz einer Häufungsstelle wenn nicht bewiesen, so 
doch wenigstens plausibel gemacht. Das möge hier genügen. Den exak 
ten Beweis findet man in meinem Buche „Grundzüge der Differential- ! 
und Integralrechnung" (Leipzig, B. G. Teubner, 1909). 
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8 5. Konvergente Zahlenfolgen. 
Aus dem Weierstraßschen Satze wissen wir, daß eine beschränkte Zah- ! 
lenfolge wenigstens einen Häufungswert besitzt. Wir wollen jetzt die- ! 
jenigen beschränkten Zahlenfolgen betrachten, bei denen es so wenig Häu 
fungswerte gibt wie möglich, also einen einzigen. u t , u 2 , u a , ... sei 
eine beschränkte Folge von dieser Art und u ihr einziger Häufungswert. 
Wir wollen um u als Mitte irgend ein Intervall I konstruieren. In 
diesem liegen, weil u ein Häufungswert ist, unendlichviele Glieder der 
Folge. Die Glieder, die das nicht tun, mögen die Ausnahmeglieder 
heißen. Nun läßt sich hier zeigen, daß es nur eine endliche Anzahl 
solcher Ausnahmeglieder gibt. Angenommen, dies wäre nicht der Fall, 
es gäbe also unendlichviele Ausnahmeglieder. Sie bilden dann eineFolge 
u x , u. 2 ', u 3 ' r , .die aus u lf ti 2l u 3 , . .. durch Streichung aller in 
I enthaltenen Glieder entsteht. Eine solche Folge, die aus u x , u 3 , | 
.. . durch gewisse Streichungen entsteht, nennt man eine Teilfolge 
von u x , w a , %,.... Jede Teilfolge einer beschränkten Folge ist offen 
bar ebenfalls beschränkt. Wir können also auf u x , %, u 3 , . . . den 
Weierstraßschen Satz anwenden und daraus schließen, daß diese Folge 
einen Häufungswert u' besitzt, u' ist sicher von u verschieden; denn u 
ist kein Häufungswert von u x , u 2 , w 3 ',. .., weil z. B. in I überhaupt 
kein Glied dieser Folge enthalten ist. Ferner läßt sich leicht erkennen, 
daß u' auch ein Häufungswert der Folge u lf u 2l u tl .. . sein muß. 
Da nämlich in jeder Umgebung von u' unendlichviele Glieder der Teil 
folge u x , Mg', M s ', ... enthalten sind, ist damit zugleich gesagt, daß 
es dort unendlichviele Glieder der Folge u lf u 2 , « 3 , ... gibt. Die 
Folge 
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