Konvergente Zählensolgen 15 
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Folge u x , u tl m 3 , ... hätte demnach zwei verschiedene Häufungswerte 
u und u", gegen die Voraussetzung. 
Bei einer beschränkten Zahlenfolge mit nur einem Häufungswert 
u hat dieser also, wie wir festgestellt haben, folgende Eigenschaft: In 
jeder Umgebung von u liegen alle Glieder der Folge mit einer 
endlichen Anzahl von Ausnahmen oder, wie wir kurz sagen wollen, 
fast alle Glieder der Folge^). 
Steht eine Zahlenfolge u xt u if u a , .. . zu einer Zahl u in 
einer solchen Beziehung, daß in jeder Umgebung von u fast 
alle Glieder der Folge enthalten sind, so sagt man: Die 
Folge u x , u % , m 3 , ... hat den Grenzwert u. Eine solche Folge 
nennt man konvergent. 
Wir haben also oben bewiesen, daß eine beschränkte Zahlenfolge, die 
nur einen einzigen Häusungswert u besitzt, konvergent ist und den Grenz 
wert u hat. Jetzt wollen wir noch zeigen, daß auch das Umgekehrte 
richtig ist, daß also eine konvergente Zahlenfolge mit dem Grenzwert 
u beschränkt ist und als einzigen Häusungswert u zuläßt. Konstruieren 
wir um u eine Umgebung I, so liegen darin säst alle Glieder der 
konvergenten Zahlenfolge. Nur eine endliche Anzahl von Ausnahme 
gliedern gibt es, die nicht in I enthalten find. Es ist nun klar, daß 
wir ein Intervall (a, b) so wählen können, daß I und alle Ausnahme- 
glieoer davon umschlossen werden. Ist I unterhalb durch u — r, ober 
halb durch u -f f begrenzt, so genügt es, a kleiner zu wählen als u — e 
und zugleich kleiner als alle Ausnahmeglieder, b dagegen größer als 
u + c und zugleich größer als alle Ausnahmeglieder. Gerade weil es 
nur eine endliche Anzahl von Ausnahmegliedern gibt, können wir das 
machen. Dann ist aber die ganze Folge in (a, ö) enthalten. Daraus 
sehen wir, daß es sich uni eine beschränkte Folge handelt. Offenbar 
ist u ein Häusungswert von ihr. In jeder Umgebung von u liegen 
nämlich fast alle Glieder der Folge. Fast alle sind aber unendlich viele. 
Hätte die Folge noch einen andern Häufungswert u', so könnten wir 
um u und u' Umgebungen konstruieren, die ganz auseinander liegen 
(Fig. 6). Da in der um u konstruierten Umgebung fast alle Glieder 
der Folge enthalten sind, so kann es in der um 11' konstruierten Um 
gebung nur eine endliche Anzahl A , v _ 
von Gliedern dieser Folge geben, —' 5 1 1 — 
l) „Fast alle" ----- „alle mit einer *■ 
endlichen Anzahl von Ausnahmen." «.