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I. Häusuugswerte und Grenzwerte
K 10. HäufungSwertc als Grenzwerte von Tcilfolgen.
Wir wollen jetzt noch einmal zu dem Begriff Häufungswert zurück
kehren, der den Ausgangspunkt unserer ganzen Betrachtungen bildete,
h ist ein Häufungswert der Zahlenfolge n x , w 2 , « 3 , ..wenn in jeder
Umgebung von h unendlichviele Glieder dieser Folge enthalten sind.
Es sei jetzt u[ das erste Glied der Folge, das in dem Intervall
(h — 1, i) -f- 1). u 2 das zweite Glied, das in (h — 2 , I) -f |), u s
das dritte Glied, das in (h — 3 , h ff- und allgemein u n das
-r-te Glied, das in (h — h + enthalten ist. Es gibt ein -r-tes
Glied dieser Art, weil unendlichviele Glieder der Folge in (i) ,
i \ \ n
h + liegen. Wenn der Leser die Sache genau überlegt, wird er
bemerken, daß u[, m', u' s ... eine Teilfolge von u x , u 2 , u Sl ... ist,
d.h.daß u' 2 in der Folge u x , u 2 , u 3 , .... später als u[ kommt, ebenso
u' a später als u' 2 usw. Durchläuft nun n die Folge 1, 2, 3, ..., so
weil offenbar in jeder Umgebung von Null fast alle Glieder der Folge
1, |, ... enthalten sind, h — ~~ und h -ff ^ konvergieren somit
beide nach h, und dasselbe gilt von u’ n , welches zwischen ihnen liegt,
h ist also der Grenzwert der Folge u[, w 2 , w 3 , .... d. h. jeder Häu-
sungswert läßt sich als Grenzwert einer Teilfolge betrach
ten. Ist umgekehrt u[, u % , m 3 , ... irgendeine konvergente Teilfolge
von u x , w 2 , u a , ..., so ist ihr Grenzwert ein Häufnngswert von u lt
u 2 , u a , ...; denn in jeder Umgebung von ihm liegen fast alle u' n , also
jedenfalls unendlichviele u n .
§ 11. Größter und kleinster Häufungswert einer
beschränkten Zahlenfolge.
Wir wollen jetzt noch eine kleine Betrachtung über beschränkte Zahlen
folgen anstellen. Sie soll zugleich dazu dienen, den Leser in der Hand
habung der erworbenen Begriffe zu üben. u lt w 2 , u äl ... sei eine be
schränkte Zahlenfolge, d. h. es sei stets a < u n < b.
Wenn die Zahl « von unendlichvielen ü n übertroffen wird, die
Zahl ß dagegen nicht, so wollen wir («, ß) ein ausgezeichnetes
