Differentiation v. Summe, Differenz, Produkt 87 
Der Satz gilt für eine beliebige endliche Anzahl von Summanden. 
2. Genau ebenso beweist man, daß 
(f — 9)' = f — (/' ist- 
Die Ableitung einer Differenz ist gleich der Differenz der Ab 
leitungen. 
3. Jetzt sei F{x) = fix) • g(x). 
Dann wird 
F{x -f h) — F(x) _ fix + h)g(x -f h) — f(x)g(x) 
h ~ h 
- i>(» + '0-g(£) . f{x +;,) + A« + *)-A;0. 
Wir bemerkten bereits auf S. 34, daß gleichzeitig mit ¿Z« nach 
Null konvergiert. Also strebt f(x -f h) bei hinschwindendem h dem 
Grenzwert f(x) zu, eine Eigenschaft, die man als Stetigkeit be 
zeichnet. Wo es eine Ableitung gibt, ist immer Stetigkeit vorhanden. 
Bei hinschwindendem J> konvergiert daher der obige Ausdruck des 
Differenzenquvtienten nach 
g'{x)-f(x) + f{x)-g{x). 
Also existiert F\x), und man hat 
F'(x) = f{x)g{x) -f g{x)f{x) 
oder kurz (fg)' = f'g 4- fg- 
Wenn g(x) eine Konstante c ist, so wird g\x) — 0. Die Ablei 
tung einerKonstanten ist gleichNull, weil schon ihr Differenzen- 
auotient gleich Null ist. Im Falle g(x) ----- c lautet die obige Formel: 
(cf)'-cs. 
Dies kann man ebenso leicht direkt beweisen, indem man bemerkt, 
daß sich der Differenzenqnotient von cf aus dem von f durch Mul 
tiplikation mit c ergibt. 
Bei einem Produkt von drei Funktionen g, Je hat man 
(fgü)' = sgjc 4- f(gJc)' = f gh 4- fg’h 4- fgF. 
Um ein Produkt von m Faktoren zu differenzieren, multipli 
ziert man die Ableitung jedes Faktors mit allen andern Fak 
toren und addiert diese m Produkte.