Differentiation der zusammengesetzten Funktionen 51 
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teil 
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ißerdem sei 
(«, ß) und 
teluug von 
u jedem Wert von x ein Wert von y, so daß y eine Funktion von 
x ist. Wie y von x abhängt, drückt die Formel 
y — F{f{x)) 
aus. Man nennt F{f{x)) eine zusammengesetzte Funktion. 
Wir wollen nun annehmen, daß die Ableitungen f'{x) und F'(u) 
existieren und zusehen, ob dann auch F[f{x)) eine Ableitung hat. 
Erteilen wir dem x das Inkrement Ax, so erfährt u ein Inkrement 
Au und y ein Inkrement Ay. 
Es handelt sich für uns um den Differenzenquotienten Ay : Ax 
bzw. um sein Verhalten bei hinschwindendem Ax. 
Ax durchlaufe die Nullfolge 7> 2 , h Sl ... mit lauter nicht ver 
schwindenden Gliedern. Dann wird Au ebenfalls eine Nullfolge k v 
k if A-g, ... durchlaufen (vgl. S. 34). Es ist aber nicht gesagt, daß 
auch alle k n von Null verschieden sind. 
Wenn fast alle Tc n von Null verschieden sind, so können wir durch 
eine endliche Anzahl von Streichungen den Fall Au^O herbeiführen. 
Dann dürfen wir aber schreiben 
Ay Ay Au 
Ax Au Ax 1 
und es ergibt sich 
(*) 
lim 4f = F 'i u ) ‘ f\ x )- 
Sind fast alle Tc n gleich Nrrll, so können wir durch eine endliche An 
zahl von Streichungen den Fall Au = 0 Herstellen. Dann ist aber 
auch Ay = AF(yu) = 0. Man hat also 
Ay 
Ax 
= 0 
und daher — f'(x) = 0, lim—- — 0, 
so daß auch jetzt die Gleichung (*) gilt. Sind unendlich viele k n von 
Null verschieden und unendlichviele k n gleich Null, so können wir 
uns auf die Bemerkungen 4 und 5 in tz 5 stützen und erhalten wieder 
die Gleichung (*). Sie sagt uns, daß die Ableitung von 
y --- Fim) 
existiert und folgenden Wert hat: 
! F (fix))} '= F\f{x))f(x).