Mittelwertsatz 
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folgt wegen der Stetigkeit 
lim sin. n) = f(S)t lim KÜ = /XO- 
Da K zwischen /■(*]„) und /■(£„) eingeschlossen ist, müßte nach § 5, 
Nr. 6 und 7, 
sein. Es gibt also keinen ausgelassenen Zwischeuwert. 
Jetzt kommen wir zu einem grundlegenden Satze, den man als das 
Theorem von Rolle bezeichnet. 
f\x) sei weder bei a noch bei b unstetig und habe zwischen 
a und b überall eine Ableitung. Ist dann f(a) = f(b)) = 0, 
so gibt es zwischen a und b eine Stelle, wo die Ableitung 
verschwindet, d. h. zwischen zwei Nullstellen der Funktion liegt eine 
Nullstelle der Ableitung. 
Da aus der Existenz der Ableitung die Stetigkeit folgt (vgl. S. 37), 
so ist f(x) auch zwischen a und b überall stetig und erfüllt also die 
Voraussetzung unseres Hilfssatzes. Es gibt daher einen größten Wert 
/'(|) und einen kleinsten Wert /■(£). 
Sind £ und £ mit a oder b identisch, so bedeutet dies, daß sowohl 
der größte als auch der kleinste Funktionswert gleich Null ist. Dann 
ist aber die Funktion f(x) in dem ganzen Intervall (a, b) gleich Null 
und hat an jeder Stelle x zwischen a und b die Ableitung Null. 
Liegt dieser triviale Fall nicht vor, so befindet sich wenigstens eine 
der beiden Stellen £, £ zwischen a und b. Ist nun j. 53. a < £ < b, 
so ist von den beiden Differenzenquotienten 
der erste nicht positiv, der zweite nicht negativ. Da nämlich f(£) von 
keinem Funktionswert übertroffen wird, so hat man 
m + *) - fit) < 0, fit - h) - f(t) < 0, 
und der Nenner ist bei u positiv, bei v negativ. 
Läßt man nun h durch positive Werte nach Null konvergieren, so 
wird 
lim u = f'{£) und lim v ----- fit). 
Wegen u<L0 muß dann und wegen v ^ 0 muß 
sein. Also folgt f(£) = 0. _ , _ 
Ebenso zeigt man im Falle a<$<b, daß /■'(!) ---- 0 sein muß. 
Immer gibt es also zwischen n und deine Stelle, wo/''(w) verschwindet.