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II. Differentialrechnung 
Wir können also schreiben 
—— = 1 + x + x 2 H (I x I < 1) 
§ 30. Potenzreihen. 
Als Potenzreihe bezeichnet man jede Reihe von der Form 
a 0 + a x x + a 2 x 2 -f 
Eine Potenzreihe ist z. B. die geometrische Reihe 1 + x + x 2 + • • • 
Sind fast alle Koeffizienten, d. h. fast alle a nf gleich Null, so ist die 
Potenzreihe nichts anderes als eine ganze rationale Funktion. 
Die erste Frage, die hier erledigt werden muß, ist die nach der 
Konvergenz der Potenzreihen. 
Jede Potenzreihe konvergiert für ^ = 0, und es gibt Potenzreihen, 
die nur für x = 0 konvergieren. Eine solche ist z. B. die Reihe 
x + (2æ) 2 -)- (3æ) 3 -f • • • 
Solange hier x ^ 0 ist, erfüllt die Reihe nicht einmal die Bedingung 
lim u n — 0. 
Aus der anderen Seite gibt es Potenzreihen, die für alle Werte 
von x konvergieren (beständig konvergente Potenzreihen). Eine 
solche ist z. B. die Reihe 
Die Glieder der Reihe 
sind nämlich kleiner als die entsprechenden Glieder der Reihe 
— i~ — I : — 
V V V 
die konvergiert, sobald \x\ < v ist. 
Zu einer dritten Gattung von Potenzreihen gehört die geometrische 
Reihe 1 -f- x + x* H Sie konvergiert, wie wir wissen, wenn \x | < 1 
ist, aber auch nur dann. Sie konvergiert also innerhalb des Inter 
valles (— 1,1) und sonst nirgends. 
Die Reihe a 0 + a x x -f a 2 x 2 H sei nicht nur für x = 0, sondern 
auch für x = x 0 konvergent (x 0 ^ 0). Da die Glieder einer konver-