70 
II. Differentialrechnung 
Wir wissen jetzt also, daß die Reihe a 0 -f a x x -f a 2 x 2 -) nicht 
konvergiert, wenn t 
ist- 
Da s beliebig verkleinert werden darf, so können wir auch folgen 
des sagen: 
Die Reihe a 0 -f a x x -f a 3 x 2 -)-••• konvergiert nicht, wenn 
ist- 
Wenn i = 0 ist, so ist 0 offenbar der einzige Häufungswert von 
(*), denn negative Häufungswerte kaun die Folge nicht haben, weil 
sie kein negatives Glied enthält. Im Falle A = 0 ist also (vgl. § 5) 
lim a n n ----- 0. 
Fast immer findet die Ungleichung 
a n x n \<(e\x ) n 
statt. Sobald daher 
ist, kouvergiert die Reihe a 0 -f- a x x -f- a 2 x 2 -f • • • absolut. Da e be 
liebig verkleinert werden darf, können wir schließen, daß die Reihe 
für alle Werte von x absolut konvergent ist. 
Die obigen Resultate lassen sich in folgendem Theorem zusammenfassen: 
A sei der größte Häufungswert der Folge 
Dann ist die Potenzreihe a 0 + «i# + + • • • absolut kon 
vergent im Falle 
divergent im Falle 
Das Intervall (— 
j_ 1 
1 ' Ä 
^ nennt man das Konvergenzinter- 
vall der Potenzreihe. Innerhalb des Konvergenzintervalles